2019 Fiscal Year Annual Research Report
Quantum probability and asymptotic analysis of large finite systems
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19H01789
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
尾畑 伸明 東北大学, 情報科学研究科, 教授 (10169360)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
洞 彰人 北海道大学, 理学研究院, 教授 (10212200)
田中 太初 東北大学, 情報科学研究科, 准教授 (50466546)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 量子確率論 / スペクトル解析 / 漸近的組合せ論 / 代数的組合せ論 / 直交多項式 / ネットワーク数理 / グラフスペクトル / 量子ホワイトノイズ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
統計性の源泉を非可換代数とその表現に求める手法として、量子分解は量子確率論の基本的な概念であり、理論と応用の両面からその多変数化が重要な課題となっている。本研究では、代数的組合せ論で扱われる有限系のスペクトル解析、および付随する巨大有限系の漸近解析に応用するという観点から、多変数の確率分布を扱う理論と多変数化された量子分解法を構築することを目的として、次の4課題を扱うこととしている。
（1）成長するグラフの同時スペクトル分布と付随する多変数直交多項式の決定：成長するグラフをスペクトル分布の観点から考察する。すなわち、極限分布を通して極限グラフの様相を調べる立場である。従来研究では隣接行列、ラプラス行列、距離行列などを扱い、1変量に帰着される中心極限定理が主要な課題であった。これを多変数化する試みとして、グラフに付随する複数の行列から得られる同時スペクトル分布の諸性質とその極限分布を導出し、対応する多変数直交多項式を決定する。具体的な強正則グラフに対して、隣接行列と補グラフの隣接行列の2変量の分布（同時スペクトル分布）と付随する2変数直交多項式の詳細構造を導出することができ、国際共著論文を準備した。
（2）アソシエーションスキームに付随した量子分解法の多変数化：上記の距離正則グラフの議論は、アソシエーションスキーム上で展開するのがより自然であるという見通しを得た。
（3）多変数直交多項式を特徴づける量子成分の非可換構造の抽出：量子分解の多変数化を直交多項式の視点からとらえれば、多変数直交多項式系に対して定義される「多変数的に拡張されたヤコビ行列」が鍵となる。その一般化されたヤコビ行列に退化指数という概念を導入して、スペクトル測度の台の大きさを評価するための最初の成果が得られ国際共著論文として発表した。
(4）量子ホワイトノイズ解析の集大成：文献調査を進めた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
2020年2月以降、新型コロナウイルス感染症拡大に伴って、大学の管理運営およびオンライン教育に係る業務が激増したため十分な研究時間の確保が困難になった。加えて、本研究で重要なパートを占める国際共同研究では直接対面する形の議論が欠かせないが、海外機関の事情も同様であり、双方とも海外渡航が不可能となり、共同研究遂行が極めて限定的になった。
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| Strategy for Future Research Activity |
グラフのスペクトル解析を具体例として量子分解法を再考するために、グラフに付随する様々な行列に対するスペクトル解析を検討する。特に、距離行列から定義されるQE定数の基本的性質とグラフの分類への応用を調べる。QE定数は研究代表者が導入したもので、その役割についてはまだ不確定であるが、グラフ構造を反映する新しい不変量として期待できる。これを受けて、目的に掲げた4項目については以下の通りとする。
（1）成長するグラフに付随する複数の行列から得られる同時スペクトル分布の諸性質とその極限分布を導出し、対応する多変数直交多項式を決定する。強正則グラフや距離正則グラフに対する一般論の構築を目指す。
（2）上記の距離正則グラフの議論は、アソシエーションスキーム上で展開するのがより自然であるという見通しの下、そのための準備研究を継続する。
（3）量子分解の多変数化を直交多項式の視点から整理する。この視点は多くの具体例を統括するのに有用であるが、多変数の場合は、スペクトル分布といかに関連付けるかが困難な問題になる。適切に定義された量子成分の満たす交換関係によって、確率分布の特徴づけを求める。
（4）量子ホワイトノイズ解析の集大成として、高次ホワイトノイズによって定義される作用素、作用素のユニタリ性の判定条件、正規積への変換と繰込みとの関係を明らかにする。
新型コロナ感染症拡大により、発表を予定していた国際会議がすべてキャンセルとなり、海外渡航（たいがいの国内出張も同様）を伴う研究活動が止まっている。数学の議論ではオンラインではなく対面の方が明らかに発展性があるので、新型コロナ感染症の収束を見通しながら、国際共同研究の再開の機会をとらえる。一方、オンラインによる研究連絡はこれまで通り継続する。とりわけ、課題(3)と(4)については、海外協力者との共同研究体制の立て直しを行う。
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Research Products
(7 results)
