2020 Fiscal Year Annual Research Report
Research on random real and complex dynamical systems, semigroups of holomorphic maps and fractal geometry
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19H01790
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
角 大輝 京都大学, 人間・環境学研究科, 教授 (40313324)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
中西 敏浩 島根大学, 学術研究院理工学系, 教授 (00172354)
佐藤 譲 北海道大学, 電子科学研究所, 准教授 (30342794)
上原 崇人 岡山大学, 自然科学研究科, 准教授 (40613261)
諸澤 俊介 高知大学, 教育研究部自然科学系理工学部門, 教授 (50220108)
和田 昌昭 大阪大学, 情報科学研究科, 教授 (80192821)
イェーリッシュ ヨハネス 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 准教授 (90741869)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 力学系 / ランダム力学系 / ランダム複素力学系 / フラクタル / ランダム性誘起現象 / 正則写像半群 / ジュリア集合 / ランダム緩和ニュートン法 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
角はランダム複素力学系の研究を行い、一つの正則写像の反復合成による力学系では起こりえないような多くの新しい現象について考察することができた。特にシステムの各写像らが共通固定点を持つようなランダム力学系の様々な具体的族を調べ、その分類などを行った。また、複素２次元のランダム緩和ニュートン法の研究に着手し、その基本的な性質や、genericな写像についての良い性質を調べた。特に、高次元特有の難しさを真正面から考察し、blow up を使うなどの高次元独特の手法を活用することを思いついた。また、独立同分布とは限らないマルコフ的ランダム複素力学系の平均安定性に関する様々な研究を行って複数の結果を得た。さらに、非有界多項式列のジュリア集合の非一様完全性などの、通常の一つの多項式の反復では起こりえない新しい現象を詳しく研究して複数の結果を得た。これらの結果について、複数の研究集会で発表するなどした。
上原は有理曲面上の双有理写像に対して, その力学系の複雑さを表す力学系的次数全体のなす集合の構造についての結果を得た。
中西はいくつかの曲面群のフックス群表現に具体的な行列表示を与えることに成功し、それをタイヒミュラー空間やクライン群論に応用した。
諸澤は有理関数や多項式関数の半群の力学系の研究を行いその１パラメータ族についての結果などを得た。
イエーリッシュと角は実直線上のある種のギブス測度の局所次元スペクトラムのマルチフラクタル解析に関する結果を得た。佐藤はランダム力学系と確率微分方程式で生じる確率カオスと関連する非線形確率現象を研究していくつかの結果を得た。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
新型コロナウイルス流行の影響で令和２年度は研究集会の数が減り、研究集会が開かれてもオンラインであることが大半で、情報を入手することが難しくなっていた。さらにオンライン授業の準備に非常に時間を取られて、研究を行うことが難しくなっていた。しかし令和３年度、４年度となるにつれてオンラインによるものを中心として研究集会の数が増え始め、徐々に情報を入手し交換することが可能になってきた。また、オンライン授業の準備も一段落して、研究に少しずつ時間を割くことができるようになってきた。それに合わせるようにして研究代表者と研究分担者の研究が少しずつ進み始めるようになってきた。新しい研究成果を発表することができるようになってきているし、それをまとめて論文を執筆することもできはじめている。
具体的には角の共通固定点を持つかもしれない一次元ランダム複素力学系族の分類の話はそれまでのランダム複素力学系の理論の応用として様々な著しい結果として結実しており、オンライン国際集会で招待講演として発表することもできている。また、自らが研究集会を開催することもオンラインなどを利用してだができるようになっており、そこで自らの情報を発信しつつ、他者の研究結果等の情報をよくつかめるようになってきている。
実際に行き来することは減ってしまっていたが、オンライン研究集会の折に議論をなんとか行うこともできて、情報交換をすることもそれなりにできたと考えている。
以上のことからおおむね順調に進展していると判断する。
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| Strategy for Future Research Activity |
コロナ渦はほぼ収まりつつあるので、研究代表者および研究分担者の相互の対面での行き来を増やし、かつそれぞれの研究に関わる共同研究者との打ち合わせを増やして、研究全体の深化を図っていく。
具体的には、角が行っているランダム複素力学系に関して、まず非自励系多項式力学系における新現象を考察する研究については、アメリカのM.Comerford, R.Stankewitzと連絡を取りながら、国際研究集会で対面で会って、アイデアを発展させて、新しい現象をさらに発見して考察を深めていく。また、２次元のランダム緩和ニュートン法については、一橋大の川平友規氏や、ノルウェーのTrung Tuyen Truong氏をはじめとする国内外
の研究者と議論を重ねていく。角とイエーリッシュによるランダム複素力学系および無限生成有理半群の力学系の研究については、実際に互いに行き来を行いながらシステムに付随するPeron-Frobenius作用素の解析やジュリア集合のハウスドルフ次元などの理論を発展させていく。また、中西と連絡を取り合い、行き来をしてお互いの知識の基本的な事柄を相互に伝達しあいながら、リーマン面の写像類群の（ランダム）力学系的理論の構築を図る。
さらに、上原とも連絡を取って、互いの持っている知識を基礎のところから伝達しあって、高次元の複素多様体上の正則自己同型写像によるランダム力学系的理論を構築していく。この理論構築を、中西と行うリーマン面の写像類群の作用の研究にも関係させていく。そして、佐藤とはランダム力学系理論の研究集会の共催などを通じて、互いに連絡を頻繁に取って、互いの大学を行き来しあいながら、ランダム力学系理論の
理論と応用の連携についての研究を深めていく。
以上のことについて、すでに得られている成果を論文にしていく。
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