2019 Fiscal Year Annual Research Report
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19H01799
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
鈴木 貴 大阪大学, 数理・データ科学教育研究センター, 特任教授(常勤) (40114516)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
宮西 吉久 大阪大学, 数理・データ科学教育研究センター, 特任講師(常勤) (20740236)
高橋 亮 奈良教育大学, 数学教育講座, 准教授 (30583249)
太田家 健佑 大阪大学, 数理・データ科学教育研究センター, 特任研究員 (30805859)
三沢 正史 熊本大学, 大学院先端科学研究部(理), 教授 (40242672)
佐藤 友彦 日本大学, 生産工学部, 准教授 (50397676)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 非線形偏微分方程式 / 大域解析学 / 非平衡統計力学 / 自由境界問題 / 特異性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
反応拡散方程式等の消散系、多強度点渦系の平衡平均場、ダム問題等の自由境界問題、マクスウェル方程式等の保存系において、多成分の相互作用の補完によって特異性が消滅し、臨界指数や爆発機構が変動する状況を、関数解析学と大域解析学を用いた新しい解析法によって明らかにした。近年の変分構造やスケーリングを用いた研究によって、解の存在や一意性を制御する臨界指数が明確になり、爆発機構も含めた力学系の多彩な大域的描像が明らかにされている。しかし多成分系双対法、エントロピー法、ラグランジュ法という新しい手法が開発されるとともに、系においては、各成分の相互作用が補完して、臨界指数が遠くに押しやられる現象が提示され始めている。本研究ではロトカ・ボルテラ系、2次の非線形項をもつ消散型反応拡散系、進化ゲーム方程式、走化性方程式、多強度渦点平均場方程式において特異性が消滅し、臨界指数や爆発機構が変動する状況を、関数解析学と大域解析学を用いた新しい解析法によって明らかにした。とりわけロトカ・ボルテラ系では空間均質系について、エントロピーと質量の保存からすべての非定常解が周期的になる一般的なクラスを摘出し、空間分布をもつ反応拡散系において2次の非線形項が臨界の空間2次元で時間大域古典解の存在を妨げないこと、任意の次元で時間大域的な弱解が存在することを証明した。また多点強度渦点平均場方程式については臨界質量でも場の汎関数が有界になることを、爆発解析と双対法を用いて証明した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
これまで開拓されてきた解析手法を駆使することで、多種相互作用によって特異性が解消されることで、時間大域的な解の存在が保証される原理が予想を超えた様々なモデルで実現されていることが明らかになった。これらは多種生物の共存や生存戦略物質の配分、多数の渦点が相互作用することで重層的に形成される秩序構造など、これまでに予想されていなかった分野の新しい現象を含むものである。
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| Strategy for Future Research Activity |
引き続き多様体上の大域解析学の手法を駆使して、以下の項目について多種相互作用によって特異性が解消される原理を明らかにする（Ａ）物質輸送を正準集団で記述した基礎方程式であるスモルコフスキー・ポアソン方程式の定常状態、無限時間、有限時間の3つの時間層での量子化される爆発機構の証明の弱形式を用いた簡略化と統一化（Ｂ）多強度点渦系平衡平均場方程式をモデルとした一般半線形楕円型方程式の解の爆発機構の解明（Ｃ）ダム内に浸透する水領域など自由境界探索に現れるテンソルのリュービルの定理による制御（Ｄ）マクスウェル方程式など保存系の解の界面正則性
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