トーリック多様体とカスプ特異点の研究

2019 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 19K03393
• Research Institution: Tohoku University
• Principal Investigator: 石田 正典 東北大学, 理学研究科, 名誉教授 (30124548)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 土橋 宏康 宮城教育大学, 教育学部, 特任教授 (00146119)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: カスプ特異点 / トーリック多様体 / コクセター群 / 直角鏡映群

Outline of Annual Research Achievements

研究代表者の石田は Vinberg の線形コクセター群の例を与える直角鏡映群について研究した．特に 3 次元で立方体のアフィンコクセター群と立方体の自己同型群の合成群の特殊な部分群の分類を行った．また 3 つの元で生成されるコクセター群について，コクセター群から構成される曲面に自由に作用する部分群を見つける計算機プログラムを作成した．指数が 20 くらいまでの部分群について実際に計算可能となった．
分担者の土橋はトーリック特異点の二重被覆について研究し，以下の結果を得た．すべての単純楕円型特異点と例外集合の双対グラフが対称的である2次元カスプ特異点がトーリック特異点の二重被覆になることを証明し，いくつかの例について定義式を求めた．トーリック特異点の二重被覆が Q-Gorenstein または log canonical となるための必要十分条件を与えた．トーリック特異点の二重被覆が孤立特異点になる場合に渡辺公夫と石井志保子によって定義された多重種数を計算する方法を求めた．応用として、小平次元が中間次元の代数多様体の錐以外に具体例の知られていなかった多重種数の増大度が1以上特異点の次元 -2 以下の特異点の具体例を構成した．
また土橋は Coxeter 群の部分軍についても様々な結果を得た，特に，ある条件を満たす無限 Coxeter 群の指数有限な部分群からカスプ特異点が得られることはわかっていたが，3 次元と 4 次元の場合に最小指数の部分群が存在することを示した．

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

研究代表者の石田と分担者の土橋は東北大学数学教室において，ほとんど毎週セミナーを行い，互いの得られた結果について説明し意見を交換した．また関係する分野の最新の結果を知るため日本数学会秋季総合分科会などに出張して研究を進めた．
本研究のテーマであるトーリック型カスプ特異点は開凸錐とそれに作用する離散群から構成されるが，例の構成にコクセター群が非常に有用であることがわかってきた．特に存在が不明であった 5 次元カスプ特異点の構成が可能であることも土橋の研究で示された．これについても，これからさらに詳しく研究が進められるものと考える．

Strategy for Future Research Activity

代表者の石田は数論的に得られるものを含めてカスプ特異点について調べると共に，計算機を用いた離散群の分類や不変量の計算など，具体的な計算に取り組む．
分担者の土橋はトーリック型カスプ特異点のさらなる一般化や高次元でどれくらい存在するかについての研究を行う．5 次元カスプ特異点についてもさらに研究を行う．
国内の研究集会等に参加して最新の研究動向や研究結果を知るなどの調査研究を行い，関係した分野の研究者と具体的な問題について討論を行い，また情報を交換する．

Causes of Carryover

年度末近くに予定していた支出ができなかったため．