トーリック多様体とカスプ特異点の研究

2021 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 19K03393
• Research Institution: Tohoku University
• Principal Investigator: 石田 正典 東北大学, 理学研究科, 名誉教授 (30124548)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 土橋 宏康 宮城教育大学, 教育学部, 特任教授 (00146119) [Withdrawn]
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: 代数幾何学 / トーリック多様体 / カスプ特異点 / コクセター群

Outline of Annual Research Achievements

トーリック型カスプ特異点あるいは土橋カスプ特異点は，実空間の開凸錐に離散線形群が整数点集合を保存するように作用していて，その開凸錐の分割である扇がいくつかの条件を満たす場合に構成される孤立特異点である．これは初期的には複素解析的特異点であるが，研究代表者により任意の体上の完備局所環としても構成できることがわかっている．本研究ではカスプ特異点を中心に，様々なトーリック多様体の問題について考察している．
研究代表者の石田は昨年度に引き続き Vinberg の線形コクセター群の例を与える直角鏡映群について研究を継続している．3 次元で立方体のアフィンコクセター群と立方体の自己同型群の合成群の特殊な部分群の分類と整理を行い，さらに高次元化が可能か考察中である．また 3 つの元で生成されるコクセター群について，前年と同様にコクセター群から構成される曲面に自由に作用する部分群を見つける計算機プログラムについても，これを他の場合に適用出来るように改良を試みている．指数を限定してのいくつかの部分群について実際に計算を行った．
またカスプ特異点に対してはゼータ関数が，開凸錐に含まれる格子点の作用に関する代表元と原点について特性関数のべき乗の和を取って定義される．この和を扇に含まれる多面錐に限った関数を部分ゼータ関数として考えることが出来る．この部分ゼータ関数とカスプ特異点のゼータ関数には容易に得られる関係式はあったが，ゼータ関数については成り立つ特殊値の有理性などはまだ得られていない．

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

研究代表者の石田がこれまでに研究を行った 3 次元立方体の鏡映群 W であるが，これは 3 次元アフィン空間に作用するアフィン変換群の部分群となる．立方体の 6 つの面についての鏡映変換で生成されるが，これ自体は鏡映面など多くの固定点を持つ．一方，立方体は位数 48 の自己同型群 G をもつので，これと鏡映群 W と合成することにより，W を指数 48 の部分群として含む離散群 GW を構成することが出来る．この GW の指数 48 の部分群をうまくとることにより 3 次元空間に自由に作用してしかも元の立方体が基本領域となるように出来る．計算機を使うことにより実際このような群が同値類として 18 通りあることがわかっている．また，これに対応するトーリック多様体とその商空間を考えると代数的トーラスを被覆空間とする代数多様体のトーリック因子への退化が実現できる．このことは興味深い結果である．前年度に引き続きこの考察と手法の高次元の場合への拡張や，双曲空間の凸多面体にも試してカスプ特異点の構成を行おうとしたが，現在のところ困難な問題が多く余り研究は進んでいない．
また，ゼータ関数の定義を扇に含まれる多面錐に限った部分ゼータ関数を考えた場合，カスプ特異点のゼータ関数との関係式は得られたが部分ゼータ関数の特殊値の有理性など，多面錐的ローラン級数を用いる方法が有効か考察を行っているが成果は十分とは言えない．

Strategy for Future Research Activity

トーリック多様体を定義する有限扇はそれに含まれる錐の和集合が空間全体になるとき完備扇と言う．非特異錐だけからなる完備扇について，研究代表者の石田は以前の研究で交点数やオイラー数に関係したいくつかの等式を与えている．その証明の手段として多面錐的ローラン級数を用いた．この方法がカスプ特異点を定義する開凸錐に台が含まれるべき級数に拡張できないか，またこれをゼータ関数の研究に応用できないか考察を行う予定である．
本研究のテーマであるトーリック型カスプ特異点は開凸錐とそれに作用する離散群から構成されるが，例の構成にコクセター群が非常に有用であり，すでに数多くの実例が見つかっている．特に存在が不明であった 5 次元カスプ特異点の構成が可能であることも土橋の研究で示された．これについての詳しい解析は困難な部分がいろいろあるが，新たな手法を開拓しながらさらに研究を進めていく予定である．
なお，2020 年度まで分担者であった土橋は勤務先の宮城教育大学を退職することになったのでこの年度で分担者を終了し 2021 年度は分担者なしで研究を行った．なお土橋の手法については石田がかなり会得しており，また今後も土橋の助言を得て研究を遂行する予定である．
2022 年 3 月の数学会年会は対面の行われる予定で，これに参加して情報を収集する予定であったが，ウイルス感染拡大のため 2 月にこれが中止となった．2022 年度には数学会や関連する研究集会などが対面で行われればこれに参加して研究に役立てる予定である．

Causes of Carryover

出席予定であった学会や研究集会がウイルス感染拡大のためため次年度使用額が生じた．
2022 年度に改善すればこれらに科研費を利用して出席する．