Siegel modular forms and algebraic modular forms

2023 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 19K03424
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 11010:Algebra-related
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: Ibukiyama Tomoyoshi 大阪大学, その他部局等, 名誉教授 (60011722)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: ジーゲル保型形式 / 代数的的保型形式 / 保型形式の次元公式 / 超特異アーベル多様体 / ゼータ関数 / 保型形式の合同 / 保型形式上の微分作用素 / ラングランズ予想

Outline of Final Research Achievements

Dimension formulas of eigenspaces of the Atkin-Lehner involution of vector valued paramodular forms of degree two such that the determinant part of the weight is not less than 3 was given explicitly.
Configuration of the moduli locus of principally polarized super-singular abelian varieties of dimension less than 4 corresponding to each a-number was shown to be characterized by parahoric subgroups of quaternion hermitian groups.
We have shown that among linear differential operators with constant coefficients acting on functions of the Siegel upper half space,those that preserves automorphy under the restriction of the diagonal blocks have certain canonical basis which are characterized only by the action on the automorphy factor, and explicit formula for the generating series of the canonical basis was given. We applied it to prove a part of the Harder conjecture on congruences jointly with Atobe, Chida, Katsurada, and Yamauchi,

Free Research Field

整数論

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

パラモジュラー形式については１変数の志村・谷山予想の類似で、有理数体上定義されたアーベル曲面のゼータ関数がウェイト２のもので与えられるという Brumer の予想があり、 Poor, Yuen　などが、ウェイト３以上のデータを用いて数値実験を行っている。我々の結果はこれに直接的な影響を与えている。超特異アーベル多様体のモジュライについては、一般次元の細かい一般論への基礎が低次元で検証された形になっている。我々の微分作用素の理論は次数２のヤコービ形式の決定、L 関数の特殊値、Harder 予想、周期に関する予想、slope の評価、など様々な数学での欠くことのできない道具として使用されている。