Research of singularity theory using integrally closed ideals in positive characteristic

2023 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 19K03430
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 11010:Algebra-related
• Research Institution: Nihon University
• Principal Investigator: YOSHIDA Ken-ichi 日本大学, 文理学部, 教授 (80240802)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: Hilbert-Kunz 重複度 / 幾何種数イデアル / 楕円型イデアル / 有理特異点 / 整閉イデアル

Outline of Final Research Achievements

We have investigated the lower bound problem on Hilbert-Kunz multiplicities, and gave a characterization of regular local rings in terms of HK multiplicity, and posed a conjecture on lower bound for HK multiplicities for singular Cohen-Macaulay local rings, which is an open question. In this research, we generalized an inequality with respect to the HK multiplicity and the usual multiplicity of the maximal ideal in 2-dimesnional Cohen-Macaulay local rings to the case of any m-primary ideals in any dimensional Cohen-Macaulay local rings, and posed a new conjecture on F-signatures as an application. Furthermore, we submitted a research paper as a joint work with Kei-ichi Watanabe (Nihon Univ.), Yusuke Nakajima（Kyoto Sangyo Univ.) et.al.
On the other hand, we introduced the notion of geometric ideals (pg-ideal, elliptic ideal) and gave a characterization of those ideals as a joint work with Kei-ichi Watanabe (Nihon Univ.)and Tomohiro Okuma (Yamagata Univ.).

Free Research Field

可換環論

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

HK重複度の概念は, 研究代表者が渡辺敬一氏と共に2000年頃から研究した概念であり, 我々が提供した予想は６次元以下の場合と完全交叉の場合以外は未解決である。この問題は HK重複度が「特異点の良さ」を表す指標となることを示しており，正標数の特異点の研究における重要な研究対象を提供し続けている。特に，本研究における我々の成果は高次元では不十分な成果であり，今後の発展が期待される。
一方，幾何的イデアルの研究は有理特異点における整閉イデアルの理論を，２次元一般の正規特異点において展開することを可能にするものとして興味深い。また，研究対象として, 正規還元種数と正規正接錐の重要性を示唆している。