2020 Fiscal Year Research-status Report
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19K03437
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
大野 泰生 東北大学, 理学研究科, 教授 (70330230)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 多重ゼータ値 / 一般超幾何関数 / Bernoulli数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Kaneko-Tsumura型の多重ゼータ関数の特殊値の満たす和公式を解明し、更に、同関数において知られていた双対関係式の大幅な拡張となる、Kaneko-Tsumura型多重ゼータ関数の特殊値の和の双対関係式の無限系列を、成立背景もわかる母関数の議論を用いた形で証明した。これは、昨年度に取り組み成果を挙げた、Arakawa-Kaneko型多重ゼータ関数の特殊値の和と等号付き多重ゼータ値の和との間の関係式の、発展型とも捉えられる関係式であり、一般超幾何関数のもつ対称性と双対関係式の繋がりを見出した点と母関数の視点からの計算に大変相性の良い性質であることを指摘した点を含む、複数の点で興味深い現象を捉えていると考えている。また、多重ゼータ値の関係式と超幾何関数の繋がりを掘り下げる当該研究課題の本流に沿った研究進展であり、一般超幾何関数と多重ゼータ値の相互情報交換に向けて礎となる成果と考えている。
このほか、tを特殊化した場合の t-Arakawa-Kaneko多重ゼータ関数の値の研究、多重ゼータ値環の標準基底問題および双対公式導出問題についての研究、level 2の多重ゼータ値の母関数についての研究、Bernoulli数とEuler数の一般化であるLehmer数に関するp進L関数論的視点からの研究、2元3次形式に付随するゼータ関数の多重化の研究やグラフのゼータ関数の研究もそれぞれ行った。また、Eieとその共同研究者により近年発表されている、多重ゼータ値の制限和公式という関係式が1999年に報告者が発表していた関係式の単純な表記変更に過ぎないことを指摘した論文と、Kobataとの共著の巡回自己同型性をもつ辺着色h-ハイパー完全グラフの数え上げ論文、Kawasakiと共著のベルヌーイ多項式とその多重化の生成アルゴリズムに関する論文、それぞれについて完成させ投稿し一は掲載決定された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Kaneko-TsumuraとArakawa-Kaneko型のゼータ関数は、いずれも Riemannゼータ関数の積分表示において、被積分関数をpolylogを用いて拡張することによって定義されるRimannゼータ関数の一般化である。Bernoulli数の定義が2通り存在すること、あるいは多重ゼータ値と等号付き多重ゼータ値とが存在することと合致して、この2つの多重ゼータ関数も対として自然に存在しており、現在この関数とその近縁にあたる関数の研究が目覚ましい勢いで進展している。
今年度は、Kaneko-Tsumura型多重ゼータ関数の特殊値の和の無限系列の考察を行った。
この和はインデックスに付随する3つのパラメータによって特徴づけられる。この和の母関数が、等号付き多重ゼータ値のある和の母関数と一致することを証明し、更にその母関数があるパラメータの変換で不変であることを突き止めることで双対関係式の無限系列を示した。さらにその式を等号付き多重ゼータ値で書き下すことにより、多重ゼータ値の関係式の無限系列が得られることも示した。ただし、先に述べた双対関係式そのものについては、Xuによるより解析的な異なる手法によって同時期に同じ式が得られていたことが後に判明したが、超幾何関数の視点から成立由来を解明している点や母関数の扱いの簡潔さにおいて報告者のアプローチには価値があると考えている。
コロナ禍の影響を受けて研究活動においても行動変容をかなり求められる厳しい一年間であった。実際に出張等の人の往来はほとんど行えず、研究において重要な、対面による情報収集もディスカッションも講演もできない中であったが、ネットワークからの情報収集や個別のメールディスカッションを通じて、当該研究計画の本流に位置する研究の進展を得続けることには成功した。またオンライン講演の機会も得て、成果の発表も行うことができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
先に述べたように、本課題の中心的流れに乗った成果としてまず昨年度のArakawa-Kaneko型多重ゼータ関数の特殊値の和公式の一般超幾何関数を背景とした導出があり、それを礎石として今年度まず、Kaneko-Tsumura型多重ゼータ関数の特殊値の和公式の一般超幾何関数を背景とした導出に発展させ、さらにそれを土台として、Kaneko-Tsumuraゼータ関数の特殊値の双対関係式を大きく一般化させた、Kaneko-Tsumura型多重ゼータ関数の和の双対関係式を一般超幾何関数を背景として、母関数におけるパラメータ変換を通した対称性として証明した。
今後はこれらの背景にある一般超幾何関数において、自由度を残すパラメータのもつ可能性の探求をまず行う。また、Wayamaとの共同研究で得ているt補間されたArakawa-Kanekoゼータ関数において、これらの和公式がどのようにつながるかにも大変興味がある。多重ベルヌーイ多項式が、生成アルゴリズムの観点でも自然なt補間としてとらえられることはKawasakiとの共同研究で指摘したところであるが、そのことからもt-Arakawa-Kanekoゼータ関数においても自然なt補間和公式が成立し、その背景に一般超幾何関数が現れる可能性は充分にあると考えている。そしてこの方針を含めて、Yamamotoによる補間多重ゼータ値の研究とその豊かな性質が有用になると考えられる。また、一般超幾何関数側で既に知られている関係式を用いて多重ゼータ値の構造を解明する研究の進展も目指す。この課題においては、特異点に対する幾何学的な視点が重要となり、Hirose-Satoの一連の研究の枠組みが役に立つ可能性があると考えている。コロナ禍の通過を待って、既に１年余大幅に抑制されている対面での研究連絡を再開して、蓄積された検討課題を切り崩していく計画である。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウィルス感染症の感染拡大防止のためおよび度重なる蔓延の危機感からの様々な行動制限や自粛を要請され、予定していた研究集会開催や物品購入計画、研究者招へい計画、および海外を含む研究出張の予定をキャンセルとし、次年度使用額が生じた。次年度の感染症の問題が解消あるいは著しく低減された後に、当初予定の計画になるべく沿うように研究集会開催や招へい、出張および物品購入等を進め、延期している海外渡航計画についても実行するために当該次年度使用額を使いたいと考えている。
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