2022 Fiscal Year Annual Research Report
Generation problems in module categories and derived categories of commutative noetherian rings
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19K03443
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
高橋 亮 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (40447719)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | Frobenius写像 / 導来圏 / エントロピー / CM優秀 / Faltingsの零化域定理 / t構造 / 正準加群 / n捩れ自由 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2022年度は以下の研究を行った。
(1) 標数が素数pであり剰余体が完全体であるようなd次元可換Noether局所環RのFrobenius写像Fが有限射になる場合に、Fのpushforward F_*が有限生成R加群の有界導来圏上に定める自己関手の（Dimitrov, Haiden, Katzarkov, Kontsevichの意味での圏論的）エントロピーが、パラメーターの値に依らずd log pという値になることを示した。これはMajidi-Zolbanin, Miasnikov, Szpiroが導入した局所エントロピーの値と一致する。
(2) Cesnaviciusの意味でのCM優秀な可換Noether環上の有限生成加群に対して川崎健が2008年に示したFaltingsの零化域定理を鎖複体に拡張した。これはDivaani-Aazar, Zargarが2019年に双対化複体の存在を仮定して示した定理を包括する。応用として、CM優秀な可換Noether環上の有限生成加群の有界導来圏の（Beilinson, Bernstein, Deligneの意味での）t構造を完全に決定した。これは2010年にAlonso Tarrio, Jeremias Lopez, Saorinが双対化複体の存在を仮定して示した定理を包括する。
(3) 可換Noether局所環Rの正準加群Kのn捩れ自由性を調べた。RがCohen-Macaulayの場合は、Kのn捩れ自由性はRが(G_{n-1})条件をみたすことと同値になることが1974年にFoxbyによって示されている。今回、Kが(S_n)条件をみたすことのみを仮定して、Kがn捩れ自由であること、Kがnシジジーであること、そしてRがKの台の上で(S_{n-1})条件と(G_{n-1})条件をみたすことが同値であることを示した。
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