2022 Fiscal Year Research-status Report
McKay correspondence and derived category
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19K03444
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
石井 亮 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (10252420)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | McKay 対応 / モジュライ空間 / クレパント解消 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
McKay 対応は，有限群による商特異点解消の幾何学とその群の表現論の間に存在すべき対応のことである．これまで多くの結果は，群が余次元２を除いて自由に作用する場合に得られてきたが，川又により，商多様体と因子の組みを用いてMcKay対応の定式化がそうでない場合にも拡張された．本研究においては，その定式化と G-constellation のモジュライ空間を結びつける考察を行った．余次元２を除いて自由な作用について G-constellation のモジュライ空間がどのような特異点解消であるかということを以前に研究していたが，それとは対照的な場合である鏡映群について，3次元の例の計算をいくつか行い，商多様体と因子の組がクレパント解消をもつ場合があることを発見した，なお，2次元の鏡映群の場合は大学院生の Capellan 氏が研究中である．
また，SL(3)の可換有限部分群に対して，その商特異点の任意のクレパント解消が G-constellation のモジュライ空間として実現できることを以前 Craw 氏との共同研究で示したが，その非可換群への拡張を行った論文が山岸亮氏により発表された．そこで山岸氏を招いてその方法の詳細な検討を行った．特に，安定性パラメータの空間に入る部屋構造の壁ごえを行った時にモジュライ空間及びその上の普遍族に起こる変化を記述する際に，余次元２は除いて考えても良いという知見を得ることができた．それらに基づいて更なる発展の可能性を探った．
群作用つきダイマー模型の共著論文について，改訂作業を行なった．より良い形になって出版されることを希望している．2次のヒルツェブルフ曲面上の例外列に関する共著論文も投稿した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
前年度までコロナ禍で他の研究者との交流が制限され，また様々な事態への対応に追われて様々なことに手がつかない状態が続いていたが，状況が改善されてきたため，他の研究者との交流なども少しずつできるようになってきたこともあり，McKay 対応に関していくつかの重要な考察を行うことができた．例えば，3次元の場合に長らく未解決であった問題を解決した山岸亮氏を招いて詳しく話を聞くことができ，それにもとづいて McKay 対応に関する考察を深めることができた．特に鏡映群によるMcKay 対応について考察した．鏡映群に対しては通常の意味で考えた商空間は滑らかな代数多様体になり，そのままでは従来の McKay 対応のようなことは考えられないが，分岐によって定まる因子を組みにすることにより，川又雄二郎氏の定義した最大特異点解消などを考えることができる．その場合の G-constellation のモジュライ空間などをいくつかの具体例の場合に計算してみることができた．大学院生の Capellan 氏の研究により2次元の場合はかなり綺麗な対応が得られることがわかってきているが，3次元でも綺麗な空間になっている場合があることがわかり，それらを用いて幾何学的な McKay 対応が記述できる可能性があると思われ，今後の研究に期待ができる．
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| Strategy for Future Research Activity |
鏡映群や複素鏡映群に対する McKay 対応を考察する．これらの群による商多様体は滑らかで特異点を持たず，一見そのままでは考察の対象にならないが，その滑らかな空間とその上の判別式因子を組みにしたものを考える．そう言った組に対して，最大Q-分解的端末化という概念が川又氏により導入され，3次元では(鏡映群に限らず)導来圏の反直交分解としてのMcKay 対応が確立されている．ここでは，G-constellation のモジュライ空間を用いるなどして，より具体的に対応を記述することを考える．特に鏡映群の場合には適切なスタックを考えることによって導来同値が導かれることが期待できる．
まずは具体例の計算などを行う．関連した研究として，Buchweitz, Faber, Ingalls らによる鏡映群の McKay 対応があある．彼らの研究はより非可換幾何学的な記述であって幾何的な特異点解消などは登場しないが，強い関連があるはずなので検討を行い，必要に応じて Ingalls 氏らと打ち合わせを行う．また，3次元特殊線形群の非可換群有限部分群に対して商特異点のクレパント解消がG-constellation のモジュライ空間として実現できることを示した山岸亮氏とも打ち合わせを行う．その他さまざまな研究集会等で情報を収集するとともに，多くの研究者とアイデアを交換する．
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| Causes of Carryover |
引き続きコロナ禍でまだ移動にも慎重であったため，十分な出張等ができなかったため，次年度使用が生じた．使用計画としては，情報収集およびアイデア交換のための出張や招聘の旅費に使い，また計算等を実行する計算機を購入する予定である．
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