Representations of finite groups and Auslander-Reiten quivers

2022 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 19K03451
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 11010:Algebra-related
• Research Institution: Nagoya City University
• Principal Investigator: KAWATA Shigeto 名古屋市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (50195103)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: 有限群 / 表現論 / Auslander-Reiten有向グラフ

Outline of Final Research Achievements

Let G be a finite group and R a complete discrete valuation ring. We study the Auslander-Reiten quiver of the group ring RG. In particular, we show that the vertices of indecomposable RG-lattices in the Auslander-Reiten component containing the Scott lattice with a p-subgroup Q of G as vertex is Q or a Slow p-subgroup of the normalizer of Q. Also, we show that the tensor sequence of the almost split sequence of S with an indecomposable RG-lattice L is almost split if and only if L is virtually irreducible. Moreover, we show that L is virtually irreducible if and only if S appears with multiplicity 1 as a direct summand in the tensor product of L and its dual lattice.

Free Research Field

有限群の表現論

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

有限群を基底とした線形空間に、群として本来持つ乗法を反映させて構成される群多元環は、群の構造を研究するために役立つとともに、対称多元環としてとても重要な多元環である。本研究では、多元環の表現論で駆使されているAuslander-Reiten理論を利用することによって、有限群の整数表現において重要な役割を果たすScott表現加群やvirtually irreducible表現加群についてテンサー積と関連させた興味深い結果を得た。このことは、有限群の表現においてAuslander-Reiten理論の新たな活用方法を見出すことが期待できる。