Construction of harmonic maps into hyperbolic space and applications to surface theory in homogeneous spaces

2023 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 19K03461
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 11020:Geometry-related
• Research Institution: Hokkaido University (2022-2023); University of Tsukuba (2019-2021)
• Principal Investigator: Inoguchi Junichi 北海道大学, 理学研究院, 教授 (40309886)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: 調和写像 / ループ群 / 対称空間 / 極小曲面 / グラスマン幾何 / サーストン幾何

Outline of Final Research Achievements

We constructed minimal surfaces with symmetry and of non-trivial topological type in the 3-dimensional Heisenberg group, which is the model space of nilgeometry in the sense of Thurston. Next we established a loop group method for constructing constant Gaussian curvature (of arbitrary value) in the hyperbolic 3-space. We classified orbital surfaces of Grassmann geometry in the Riemannian product of the hyperbolic plane and the real line. Moreover we obtained some mathematical contributions to geometric design through similarity geometry and to architectural design through Lie sphere geometry. Some applications to information geometry are also given.

Free Research Field

幾何学

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

これまでおもに位相幾何学的手法で研究されてきた３次元モデル空間を微分幾何学、とくに曲面の微分幾何学の観点からの研究を行い、それぞれの空間の特質を平均曲率一定曲面の性質から捉える新たな展開の出発点を確保できた点が本研究の主要な学術的意義である。研究過程で得られた成果を、他の幾何学的問題にも応用し本研究の有用性を確かめることができた。具体的には相似幾何を介した工業意匠設計、リー球面幾何を介した建築構造設計、可解リー群を介した情報幾何学である。本研究はリー群と微分方程式を駆使し偏微分方程式の解を具体的に構成する手法を開発して展開され、それらが種々の数学的な問題にも適用できることが示された。