2019 Fiscal Year Research-status Report
Study of value distribution of Gauss maps and its applications to global property of immersed surfaces in space forms
| Project/Area Number |
19K03463
|
|---|
| Research Institution | Kanazawa University |
|---|
Principal Investigator |
川上 裕 金沢大学, 数物科学系, 准教授 (60532356)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
|
| Keywords | Gauss写像 / Heinz型評価 / Bernsteinの定理 / 平均曲率一定曲面 / Lorentz-Minkowski空間 / カテノイド / 解析的延長 / 解析的完備性 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題の目標は，曲面（または部分多様体）の形状とGauss写像との関係を明らかにすることなどで空間内の曲面（または部分多様体）の大域的性質を調べる方法を確立し，さらにその応用を与えることである。本年度は主に次の２つの進展があった。１つは，Lorentz-Minkowski空間のグラフ超曲面の平均曲率に対するHeinz型評価の研究の進展である。小磯深幸氏，本田淳史氏，通峻祐氏との共同研究により，Lorentz-Minkowski空間の空間型グラフ超曲面と時間的グラフ超曲面に対する勾配評価を仮定したHeinz型の平均曲率の評価式を統一的に導くことが出来た。また，この結果の系として，entire CMCグラフ超曲面に対する消滅定理を得ることが出来た。この結果を用いて，hyperbolic angleに関する条件を付加することで，entire空間的CMCグラフ超曲面に対するBernstein型定理を示すことが出来た。この定理のhyperbolic angleに関する条件は最良のもので，Gauss写像の値分布の性質から導くことが出来る結果よりも精密な結果となっている。もう１つは，曲面の解析的延長に関する研究の進展である。梅原雅顕氏，山田光太郎氏らとの共同研究により，解析的延長の概念の定式化および解析的延長に関する結果の基礎理論，またそれを応用した，３次元ド・ジッター空間の平均曲率が１となるカテノイドの解析的延長に関する結果について幾つかの事実が分かった。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度は本研究課題のテーマの１つである「Bernstein型定理の研究」において，研究計画を検討している段階ではまだ形になっていなかった，Lorentz-Minkowski空間のグラフ超曲面の平均曲率に対するHeinz型評価の研究について成果を得ることが出来，新しい知見を得た。現在論文の形にまとめ，学術雑誌に投稿中である。また，様々な研究者と共同研究をすることで，研究内容がさらに深化してきている。
|
| Strategy for Future Research Activity |
今後推進していく研究として，大きく分けて次の３つを考えている。１つは，一般次元のEuclid空間の完備極小曲面のGauss写像の像の性質の研究である。これまでの研究成果と値分布論の研究の進展をもとに，理解が難しいとされているこのテーマに挑戦してみたいと考えている。また，今年度得ることが出来たHeinz型の定理の結果を，理論的に整備を行い，他の曲面のクラスにおいても拡張していきたいと考えている。そして，曲面の解析的延長に関する結果もさらに研究を進めていきたいと考えている。
|
| Causes of Carryover |
研究段階では，初年度は700,000円で申請していたが，研究の進展により研究打ち合わせが急遽増えてしまったため，100,000円ほど前倒し申請したため，残額が生じた。次年度以降，その残額を新型コロナ感染拡大防止に向けた新しい生活様式に対応した研究環境の整備に充てたいと考えている。
|
Research Products
(2 results)
