2020 Fiscal Year Research-status Report
Study of value distribution of Gauss maps and its applications to global property of immersed surfaces in space forms
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19K03463
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| Research Institution | Kanazawa University |
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Principal Investigator |
川上 裕 金沢大学, 数物科学系, 准教授 (60532356)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | Gauss写像 / Heinz型評価 / Bernsteinの定理 / 極小曲面 / 平均曲率一定曲面 / カテノイド / 解析的延長 / 解析的完備 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本課題の目的は，曲面または部分多様体の形状とGauss写像の性質との間の関係を明らかにすることで，空間内の曲面または部分多様体の大域的性質を研究する方法を確立し，その応用を与えることである．本年度は主に次の２つの進展があった．１つは，Lorentz-Minkowski空間のグラフ超曲面の平均曲率に対するHeinz型評価の研究が完成したことである．本田淳史氏，小磯深幸氏，通峻祐氏との共同研究により，Lorentz-Minkowski空間の空間的グラフ超曲面と時間的グラフ超曲面に対する，ある勾配評価を仮定したHeinz型の平均曲率の評価を統一的に導くことが出来た．また，この結果の系として，entire CMCグラフ超曲面に対する平均曲率の消滅定理を得ることが出来た．この結果を用いることで，これまで知られていたグラフ超曲面に対するLiouville型定理を統一的に，しかも簡明に導くことに成功した．特に，hyperbolic angleに関する評価を付加することで，entire 空間的CMCグラフ超曲面に対するBernstein型定理を示すことが出来た．この結果のhyperbolic angleに関する評価は最良のもので，Gauss写像の値分布論的性質から導くことが出来る結果よりも精密な結果となっている．本研究成果は海外の学術誌に掲載されることが決まった．もう１つは，梅原雅顕氏，山田光太郎氏との共同研究で，３次元de Sitter空間の平均曲率が１の曲面の中のカテノイドについて，解析的延長の概念を明確にすることで，ある種のクラスにおける解析的延長が出来るかどうかの判定条件を与えることが出来た．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Lorentz-Minkowski空間のグラフ超曲面の平均曲率に対するHeinz型評価の研究成果をまとめ，海外の学術雑誌に発表することが出来た．また，Gauss写像の値分布の結果の英文レビュー論文を掲載することが出来た，
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| Strategy for Future Research Activity |
Heinz型の評価の結果をより深化させて，幾何学的な背景に由来する偏微分方程式の解の研究の１つの手法になればと考えている．また，Gauss写像の値分布の研究も新しい着想を得たので，この点も含めてさらに研究を進めていきたい．
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| Causes of Carryover |
今年度は新型コロナの感染拡大の影響で研究出張が出来なかったので，当初予定していた旅費の支出が0円となった．来年度以降状況が良くなった段階で使用していきたい．
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