2021 Fiscal Year Research-status Report
Study of value distribution of Gauss maps and its applications to global property of immersed surfaces in space forms
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19K03463
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| Research Institution | Kanazawa University |
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Principal Investigator |
川上 裕 金沢大学, 数物科学系, 准教授 (60532356)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 極小曲面 / ガウス写像 / 完全分岐値数 / 除外値数 / 解析的完備性 / 解析的延長 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本課題の目的は，曲面または部分多様体の形状とそのガウス写像との間の関係を明らかにすることで，空間内の曲面または部分多様体の大域的性質を研究する方法を確立し，その応用を与えることである．今年度は主に2つの進展があった．1つは，有限全曲率完備極小曲面のガウス写像の完全分岐値数の研究の進展である．我々は以前の研究でガウス写像に対して除外値数の精密化にあたる完全分岐値数と呼ばれる数を定義し，その数が2.5となる有限全曲率完備極小曲面の例を宮岡礼子氏・佐藤勝憲氏が構成した例の中から発見した．この発見以降，例は見つかっていなかったが，報告者の研究室の学生である渡邉元嗣氏との共同研究により，ガウス写像の完全分岐値数が2.5の新しい有限全曲率完備極小曲面の例が発見された．完全分岐値数の概念を提唱してから十数年間発見されていなかったので，この発見は非常に意義のあるものである．また，渡邉元嗣氏との共同研究で，4次元ユークリッド空間内の種数が0の有限全曲率完備極小曲面のガウス写像の除外値数および完全分岐値数について，その評価の最良性を示す例も発見した．この研究の１つの目標であるオッサーマンの問題を解決するためには種数1以上のものを調べる必要があるので最終解決とまではいかないが，少なくとも種数0の場合は評価の最良性が完全に分かったのでその意味でこの成果の意義は大きいと考える．もう1つは，梅原雅顕氏，山田光太郎氏らとの共同研究で，曲面の解析的延長を持たないことを判定するために「解析的完備性」という概念を導入し，その判定法を与え，それをもとに3次元ド・ジッター空間内の平均曲率が1の曲面の例であるトライノイドの幾つかのクラスにおける解析的完備性を示した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
新しいガウス写像の完全分岐値数が2.5の有限全曲率完備極小曲面の例の発見は予想外の非常に大きなものであったが，これまでわかっていなかった有限全曲率完備極小曲面のクラスのガウス写像の性質が徐々に明らかになってきたので，研究が順調に進展していると考えられる．
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| Strategy for Future Research Activity |
最終年度で，これまで得ることの出来た渡邉元嗣氏とベトナムの研究者のハ氏との共同研究の成果を学術論文にまとめたいと考えている．また，研究集会などで発表することで，今後の研究をどのように発展していくかも模索したいと考えている．
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| Causes of Carryover |
今年度も新型コロナの感染拡大の影響で研究出張が制限されたため，旅費の支出が当初より少なくなった．来年度は最終年度で研究講演の機会が増えるので，その際に積極的に使用したい．
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