On the volume conjecture for alternating knots

2023 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 19K03470
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 11020:Geometry-related
• Research Institution: Tokyo Metropolitan University
• Principal Investigator: Yokota Yoshiyuki 東京都立大学, 理学研究科, 教授 (40240197)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: 交代結び目 / ジョーンズ多項式 / 体積予想

Outline of Final Research Achievements

The volume conjecture for knots states that, for a knot in 3-sphere, the simplicial volume of its complement appears in the limit of its colored Jones polynomial, which is very important because the geometric background of quantum invariants such as Jones polynomials is still unclear.
In this research, by using ideal triangulations of knot complements, we establish an effective method to compute the parabolic representations of knot groups, the relationship between the Neumann-Zagier matrices and hessians of the potential functions related to the colored Jones polynomials, and a new potential functions defined on angle spaces of tetrahedra. However, we can not prove the volume conjecture for alternating knots yet.

Free Research Field

位相幾何学

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

ジョーンズ多項式の発見以降、物理学を巻き込む形で、結び目・３次元多様体に対して導入され た様々な量子不変量は、ドリンフェルド・神保等による量子群の理論に立脚した極めて代数的なものであり、量子不変量の幾何学的な定式化の欠如は、過去４０年、研究者を悩ませてきたと同時に、量子不変量の本格的な幾何学への応用を妨げてきました。この問題に対する突破口になると期待されているのが結び目の体積予想であり、その研究は、すでに多くの副産物を産み出しています。今回の成果も、体積予想の証明だけでなく、結び目の半順序や、角度空間上の勾配流の研究等につながると期待しています。