2020 Fiscal Year Research-status Report
Interrelation between quantum and contact topology via braid group methods
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19K03490
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
伊藤 哲也 京都大学, 理学研究科, 准教授 (00710790)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
大槻 知忠 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (50223871)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 組みひも群 / 結び目 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
接触幾何の研究で得たアイディアや問題意識に基づき、結び目の組み紐表示の視点からの研究を行った。まず、正組みひもの閉包として表示できる結び目のHOMFLY多項式の性質を調べた。適当な変数変換でHOMFLY多項式の係数がすべて正の値になること、またその係数を種数などの幾何的な情報で具体的に書くこと、あるいは評価できることを示した。これはアレキサンダー多項式やJoens多項式などについて知られていた性質の一般化になっている。
また、Orevkovによる「交代的かつquasipositiveな結び目が正結び目か？」という問題の部分解答に触発され、より一般に「等質かつquasipositiveな結び目は正結び目か？」という問題について、適当な条件下で肯定的な解答を与えた。この問題はトポロジーの問題であるが、証明においては組みひも表示でのself-linking numberについての結果を用いるなど、接触幾何の研究から得られる知見が重要な役割を果たす。
また、Braid foliationの手法の応用として、結び目の交点数が結び目の種数と組み紐指数を用いることで良く近似できることを示した。これはBirman-Menascoによる有限性定理の定量的な拡張である。応用として、結び目の交点数がサテライト構成や連結和についでどうふるまうか？という古くからの予想・問題について、弱いながらもそれらの予想を支持する理論的な結果を得た。
これらの結果以外にも、結び目のcosmetic crossing予想について、これまであまり用いられることの少なかったKontsevich不変量の2-loop多項式を利用することで、種数１、アレキサンダー多項式が非自明な場合に証明を与えるなどの部分的な結果を得た。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
量子トポロジーと接触トポロジー双方を強力に結びつけるような結果は得られていないが、接触トポロジーの研究で得られている結果やそこから触発された手法やアイディアをトポロジーの問題に応用するという形の結果をいくつか得ることができた。直接的な関連を得ることはいまだ難しいものの、これまであまり使われることの少なかった不変量などが具体的な問題に応用できることを示すなど、研究手法の開拓は比較的順調に進んでいるように感じる。
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| Strategy for Future Research Activity |
現在得られている結果の精密化や拡張を考察していく。特に、結び目の交点数については、交代的な場合などの特別なクラスを除けば、理論的な結果がほとんど知られていなかったので、今回得られた結果や手法を精密化しより良い結果を得ることを目指す。特に、Lackenbyによるnormal surfaceを用いた手法とbraid foliationを用いた手法を組み合わせることで、結果の改善を目標にする。また、引き続き量子トポロジーと接触トポロジーの関連を模索していく。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウィルスのため、参加を予定していた研究集会も中止あるいはオンライン化となり、予定・予想していた国内外の出張がすべてなくなり、当初想定していた旅費をほとんど使用しなかった。今年度も出張等はほとんどないと想定されるため、適宜オンラインでの学会参加に用いる機材の購入等に想定したいた旅費を使用する。
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