2023 Fiscal Year Research-status Report
Interrelation between quantum and contact topology via braid group methods
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19K03490
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
伊藤 哲也 京都大学, 理学研究科, 教授 (00710790)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
大槻 知忠 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (50223871)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 正組みひも / 結び目 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
正組みひもの閉包として現れる絡み目を正組みひも結び目と呼ぶ。正組みひも絡み目は量子トポロジーにおいて、特別な性質を持つ重要な対象である。また、一方で正組みひも結び目は自然に標準的な接触三次元球面内のルジャンドル結び目としてみなせることなど、接触幾何の観点からみても重要な対象である。そのような背景から、本年度は正組みひも絡み目の性質についての研究を継続して行った。
結び目理論において、結び目の不変量や各種性質がサテライト構成、特にケーブル化に対しどのようにふるまうか、ということは基本的な問題であり、正組みひも絡み目のサテライト構成についての考察を行った。正組みひも結び目については、適切な正組みひもパターンによるサテライト構成が正組みひも絡み目となることは容易にわかる。組みひも群についての理論や手法を駆使することで、組みひもが全ねじれを含むという仮定の下で、その逆が成り立つことを示し、サテライト結び目となるような全ねじれを含む正組みひも結び目の特徴づけを与えた。
この系として、自明な結び目や三葉結び目といった結び目たちが適切なケーブル化操作が（全ねじれを含む）正組みひも結び目となる結び目として特徴づけられることを示した。
また、関連した研究として正二橋結び目についての鏡像的矯飾的手術の研究を行い、正二橋結び目についての鏡像的矯飾的手術は知られているもの（(2,k) トーラス結び目の鏡像的矯飾的手術）に限ることの証明を与えた。また、デーン手術により自明化される結び目群の元の構造についての研究や群の一般化ねじれ元のなども行った。これらの研究は、直接研究課題に現れているものではないが、研究課題の研究に触発されて行った研究である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
全ねじれを含む正組みひも絡み目の性質については十分に満足いく成果が得られた。今年度の研究成果は組みひも群の手法、とくに組みひも群の代数的側面（Garside理論）・力学系的側面（Nielsen-Thurston分類）・幾何的側面(Braid foliation理論)のすべてを組み合わせたものであり、組みひも群の理論の集大成といえる。
一方で、今年度の成果は純粋な位相幾何的なものであり、研究課題であった量子トポロジー・接触トポロジーとの関連を見出すということについては、当初の目標については未達成であると認めざる得ない。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究に際しては、これまでの研究を通して正組みひも絡み目の量子不変量の性質について、いくつかの結果を得られている。今年度の研究により、正組みひも結び目の位相的な性質についての理解が進んだことから、最後に正組みひも結び目について接触幾何の側面からの研究や理解を深めることで、これまでの研究成果と合わせて量子トポロジーと接触トポロジーの何らかの面白い対応や関連を見出すことを目標としたい。
とくに、一般の正組みひも結び目に比べ、全ねじれを含む正組みひも結び目はさらに強い性質、特に接触幾何の観点においてもさらに良い性質を持つことが期待できるため、全ねじれを含む正組みひも結び目について、接触幾何との関連を主眼に詳細に調べていく。
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| Causes of Carryover |
予定していた海外での研究集会の滞在期間が、当初の想定より一週間短かくなった。残額については研究成果発表のための国内での出張等を行うことを予定している
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