Smooth structures of 4-manifolds and knots

2023 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 19K03491
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 11020:Geometry-related
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: Yasui Kouichi 大阪大学, 大学院情報科学研究科, 准教授 (70547009)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: ４次元トポロジー / ４次元多様体 / 微分構造 / 種数関数 / コルク / 単純型予想 / Seiberg-Witten 不変量 / Bauer-Furuta 不変量

Outline of Final Research Achievements

We studied smooth structures of 4-dimensional geometric objects, which are called 4-manifolds. Specifically, under a certain assumption on the cohomology ring, we proved that every closed connected oriented 4-manifold is of mod 2 simple type, giving a partial solution to the mod 2 version of the simple type conjecture posed in 1990s. We also gave a systematic construction of exotic 4-manifolds having equivalent genus functions. This result shows a limitation of genus functions as invariants of smooth structures.

Free Research Field

位相幾何学

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

単純型予想はゲージ理論における懸案の問題であり、その mod 2 版の部分的解決は４次元多様体の Seiberg-Witten 不変量の性質解明において重要である。位相構造の適当な条件の下で、４次元位相多様体上の全ての微分構造に共通する新しい有用な性質を明らかにしたという点にも意義がある。種数関数は４次元トポロジーで 60 年以上にわたって研究されている基本的な研究対象であり、本研究でその不変量としての限界を明らかにしたことは重要である。