無限次元タイヒミュラー空間上の複素力学系的理論の構築

2022 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 19K03513
• Research Institution: Tokyo Institute of Technology
• Principal Investigator: 藤川 英華 東京工業大学, 理学院, 准教授 (80433788)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: 複素解析学 / リーマン面 / 双曲幾何学 / 擬等角写像 / タイヒミュラー空間 / モジュライ空間

Outline of Annual Research Achievements

双曲型リーマン面上の閉測地線の長さの集合は測地線スペクトラムと呼ばれ，曲面の双曲構造を決定するためのデータとして用いられる．測地線スペクトラムは，リーマン面が無限型の場合には特殊な場合を除いて集積点をもつため，測地線スペクトラムの集積点集合の全体を本質的測地線スペクトラムと定義する．二つのリーマン面が漸近的等角同値であれば，それらの本質的測地線スペクトラムは一致することがこれまでの研究でわかっている．また，本質的測地線スペクトラムの一致が漸近的等角同値を必ずしも導かないことがわかっていた．つまり，本質的測地線スペクトラムが一致しているが，漸近的等角同値ではないリーマン面が存在するのだが，今年度の研究では，そのようなリーマン面の本質を見抜き，一般的な主張に拡張するように試みた．
リーマン面の複素構造の変形空間であるタイヒミュラー空間の研究において，付随する双曲構造の変形に伴い，変化する各測地線の長さを比較して変形度合を 測ることが可能であり，タイヒミュラー空間上に測地線スペクトラム距離が定義される.漸近的タイヒミュラー空間上にも漸近的測地線スペクトラム擬距離を導入することができるが，必ずしも距離になるとは限らない．昨年度までの研究で，リーマン面がある双曲幾何学的な有界条件を満たしている場合には距離になるが，リーマン面上に双曲的長さが0に収束していくような閉測地線の列が存在する場合には，必ず距離にならないことがわかっていた．今年度の研究では，幾何学的な不変量を用いた研究が難しい無限型リーマン面の（漸近的）タイヒミュラー空間の研究に，測地線スペクトラムの解析の議論を導入し，タイヒミュラー距離と測地線スペクトラム距離との比較も行いながら，これまでに得られていた無限次元タイヒミュラー空間上のタイヒミュラーモジュラー群の力学的考察と融合させることを試みた．

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

目標としている研究の主要な部分について，その方向性が明らかになった.また問題点と今後の課題も具体的に明らかになっている.

Strategy for Future Research Activity

これまでに得られた結果を講演により成果を公表することで，新しい視点を議論したい，また研究連絡やセミナーでの講演を行い，関連する研究者と意見交換を する.

Causes of Carryover

当初予定していた出張を行わなかったため次年度使用額が生じた.次年度は，国内研究集会およびセミナーに出席して，関連する研究者との研究連絡を行う.