Research on free probability from the Levy-Khintchine type representation

2023 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 19K03515
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 12010:Basic analysis-related
• Research Institution: Nagoya City University (2021-2023); Aichi University of Education (2019-2020)
• Principal Investigator: Sakuma Noriyoshi 名古屋市立大学, 大学院理学研究科, 准教授 (70610187)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: 自由確率論 / 無限分解可能分布 / レヴィ測度

Outline of Final Research Achievements

In the R-transform, which is a harmonic-analytic representation of free probability theory, we consider the Levy-Khintchine representation. When the Levy measure is allowed up to a signed measure, if there exists a distribution corresponding to that representation, we call that distribution a free quasi-infinitely divisible distribution, and we introduced a class of probability distributions corresponding to quasi-infinitely divisible distributions in free probability theory. We found many examples that fall into this class and are not freely infinitely divisible distributions. We also found examples of distributions in classical probability theory that have the same characteristic triplet as the free quasi-infinitely divisible distribution, and by connecting them, we extended the domain of the Bercovici-Pata bijection, which connects the infinitely divisible distribution and the free infinitely divisible distribution.

Free Research Field

確率論

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

自由確率論はランダム行列などのサイズ極限における極限スペクトル分布に現れる関係をよく記述する道具として確率論では馴染み深い。本研究はその中でも分布間の関係を詳細に理解することを目的としており、その意味では近年数論などの純粋数学以外にも量子物理や統計物理をはじめとした物理学、通信理論、ファイナンス理論、機械学習理論など様々な分野で応用されているランダム行列理論に貢献することが期待できる。また他方で、無限分解可能分布と呼ばれるクラスは確率論でもレヴィ過程などの構成で基本的なクラスであるが、自由確率論でも同じような考え方ができ、ダイナミクスを表現するものの基本的な考えで意義があると考えている。