Spectral theory for generalized Sturm-Liouville operators and its randomization

2022 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 19K03526
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 12010:Basic analysis-related
• Research Institution: Keio University
• Principal Investigator: MINAMI Nariyuki 慶應義塾大学, 医学部(日吉), 教授 (10183964)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: Sturm-Liouville 作用素 / ランダム作用素 / シュレーディンガー作用素 / 絶対連続スペクトル / 離散スペクトル / 点過程

Outline of Final Research Achievements

As an example of generalized Sturm-Liouville operator, we investigated a Schrodinger operator whose potential term consists of the white noise multiplied by a square integrable decaying factor. Although the potential term is not a usual function but a distribution, the operator is well defined, and is self-adjoint with probability one. Moreover, the positive part of its spectrum is absolutely continuous, while the negative part turns out to be discrete with no accumulation point other than zero. In particular, the operator is bounded from below.

Free Research Field

確率論

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

ホワイトノイズ・ポテンシャルは物理系が含む「乱れ」の数学的な理想化と言え、このようなモデルを詳しく研究することにより乱れを含む物理系に対する理論的な洞察が得られる。また、ポテンシャル項が超関数であるため、そのスペクトル解析には通常の関数解析的手法では足りず、確率論的手法を用いる必要がある。本研究の成果はこの２つの意味で乱れを含む物理系に対する数理解析の新しい事例と方向性を示している。