Geometric structure in quantum information theory based on Operator Theory and its applications

2021 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 19K03542
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 12010:Basic analysis-related
• Research Institution: Osaka Kyoiku University
• Principal Investigator: SEO YUKI 大阪教育大学, 教育学部, 教授 (90439290)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 藤井 淳一 大阪教育大学, 教育学部, 教授 (60135770)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2022-03-31
• Keywords: 情報幾何學 / 作用素論 / エントロピー / 行列幾何平均 / 作用素不等式 / 多変数幾何平均

Outline of Final Research Achievements

This study is based on the results of research on operator theory on Hilbert spaces, especially on operator inequalities by Mond-Pecaric's method. We focuses on quantitative evaluation involving various geometric aspects of information geometry and quantum information theory, and we study the paths of Tsallis relative entoropy of real order, which is related to Umegaki relative entropy and FK relative entropy. The difficulty due to non-commutativity was solved by using the constant by spectral evaluation. Furthermore, in the framework of matrix theory, we reformulated the Ando-Hiai type inequality as a basic inequality for the application of multivariate geometric averages to information geometry, and discussed its various properties.

Free Research Field

解析学基礎／作用素論

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

正定値行列の非可換性の故に、量子情報理論の理論的な枠組みの構成は困難を極めている。今回、ヒルベルト空間上の作用素論での様々な成果、特にMond-Pecaricの手法による作用素の諸性質の定量化が、量子情報理論に新たな視点、見方を与えることを示した。この研究が出発点となり、情報幾何学を含めた量子情報理論が次の新しい段階に進むことを可能にしている。これらのことが、数学の基礎理論としての作用素論の重要性を、その非可換構造としての作用素Jensen不等式や多変数版幾何平均の諸性質の解明を通して、明らかにできたことの意義は大きい。これらの成果はWebページを通じて海外の多くの研究者が閲覧している。