2019 Fiscal Year Research-status Report
Possibility of localization methods for inverse problems of time dependent problems
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19K03565
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
川下 美潮 広島大学, 理学研究科, 教授 (80214633)
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2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 時間依存型逆問題 / 局所化 / 介在物推定 / 空洞推定 / 接合境界問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目標は、時間に依存した微分方程式で記述される逆問題を囲い込み法により研究する際に現れる漸近挙動の解析に対する「局所化」の可能性の考察にある。逆問題では観測データから定められた「指示関数」と呼ばれる関数の解析を通じて媒質内部の情報を得ようとする。この問題はHelmholtz方程式におけるパラメータを純虚数にした定常問題の基本解の漸近挙動を調べる問題に帰着させるが、この方法で得られた結果は、基本解の一部の情報しか用いていない様に見える。これが正しければ、必要となるべき部分だけを取り出せるような解析を行えば、問題の局所化が出来るはずである。これまでの基本解をそのまま用いる解析は上記の「局所化」については全く考慮していないことを意味している。そこで、基本解から逆問題の解析に必要と思われる部分のみを取り出せるか、もしそれができないのなら、その理由を解明したいというのがこの研究の目標である。
令和元年度は「局所化」および、誤差評価が可能かどうかについて調査するため、一番単純な場合と考えられる一様な媒質の中にディリクレ境界条件とノイマン型（ロバン）境界条件に従う穴とが混在する場合について考察した。局所化の可能性を調べるため、基本解ではなく、漸近解を用いて定式化を試みた。漸近解は指数関数の速さで減衰することが予想されるので、それを相殺する関数を掛けて評価を行う。この部分は概ね成功している。その結果、境界が十分滑らか（６回連続微分可能）なら指示関数の評価が可能なことが分かった。基本解を用いる場合は２回連続微分可能で十分なので、双方の仮定を比べれば埋めるべき開きがあることが分かる。なお、ノイマン型の穴のみの場合は、基本解を用いる場合と同様の仮定で議論が展開できることが概ね確認できた。ディリクレ境界条件の穴もある場合は現在考察を続けている所であり、次年度における重要な課題となっている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
基本解を用いずに定式化を行うのは概ね順調に進んでいた。ディリクレ境界条件を持つ穴がある場合が意外に難しいのは、境界の近傍における近似解の微分に対する評価が必要になるのが大きな理由である。これについては基本的には楕円型境界値問題の各点評価に帰着されること、および、必要な評価は概ね一般論から得られそうな所までは議論を進めることができた。
ここまでは概ね順調であったが、この時点で令和２年２月中旬となってしまった。この頃から、不安視されていた新型コロナウイルス感染症が徐々に拡大し始め、結果として、来年度の授業などをオンライン方式に急遽切り替える必要が生じた。完全オンライン授業はこれまでの日本の一般の大学においては全く取り組みがなく、これまでの知識や手法が全く通じない。そのため、授業を成立させるために試行錯誤の繰り返しで時間を取られてしまった。現在（令和２年４月末）、受け持っている授業については何とか対応しているが、今後もオンライン化を継続する必要性・可能性があり、完全に対応可能とはまだなっていないため、対応には相応の時間が必要となる。
本研究に関しては、上記のディリクレ境界条件を持つ穴がある場合も扱える理論構成を目指す必要がある。これができないと、本課題の主要目標である「局所化できる」ということが正しくない（もしくはやり方が悪い）ということになってしまう。ここはどうしても突破したいところである。幸い、徐々にオンライン化対応についても光明が見え始めてきたので、新型コロナウイルス感染症が収まることを祈ると共に、本研究についても徐々に再開できるようになればと願っている。
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| Strategy for Future Research Activity |
基本的には研究時間を何とか確保することに尽きる。こればかりは妙案があるわけでもなく努力する以外に道はない。
研究の方向としては、これまで行ってきた研究の展開についての軌道修正は必要ないと考えている。昨年度までに達成した結果を受け、次の課題は、ディリクレ境界条件を持つ穴とノイマン型境界条件を持つ穴の両方がある場合において、観測地点からの距離が短い方が確実に区別できることを示すことにある。それができたら、上の距離が等しくなる場合の考察に進む。この場合は指示関数の評価だけでは対応できず、指示関数の漸近形を導く必要が生じる。この部分については、今回採用している近似解を利用する方法では、漸近形の主要項だけは直ぐに分かる形になっていることが予想される。そのため、まずは主要項の正確な計算を実行することが重要である。さらに、主要項が確かに主要項になっていることを示すためには誤差評価をきちんと行うことが非常に重要な意味を持つ。どのようにして有効な誤差評価を行うかについての考察が鍵である。微分可能性に関する仮定を強くしておけば何らかの結果が得られることは十分想像できるが、その仮定をどれくらい弱くできるかが今後の展開における鍵になると考えている。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染症の拡大傾向のため、計画していた研究集会が延期・中止となり、出張・出張依頼が出来なくなってしまったため、次年度使用額が出てしまいました。新型コロナウイルス感染症に対する対策は今後とも継続されることが十分に見込まれるため、実際に出張することを計画するのみならず、通信機器の整備や資料・図書の整理などに予算を使うことによって、未経験の事態に対応することを考えている。
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