2020 Fiscal Year Research-status Report
Possibility of localization methods for inverse problems of time dependent problems
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19K03565
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
川下 美潮 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 教授 (80214633)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 時間依存型逆問題 / 局所化 / 空洞推定 / 介在物推定 / 接合境界問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目標は、時間に依存した微分方程式で記述される逆問題を囲い込み法により研究する際に現れる漸近挙動の解析に対する「局所化」の可能性の考察にある。逆問題では観測データから定められた「指示関数」と呼ばれる関数の解析を通じて媒質内部の情報を得ようとする。この問題はHelmholtz方程式におけるパラメータを純虚数にした定常問題の基本解の漸近挙動を調べる問題に帰着させるが、この方法で得られた結果は、基本解の一部の情報しか用いていない様に見える。これが正しければ、必要となるべき部分だけを取り出せるような解析を行えば、問題の局所化が出来るはずである。これまでの基本解をそのまま用いる解析は上記の「局所化」については全く考慮していないことを意味している。そこで、基本解から逆問題の解析に必要と思われる部分のみを取り出せるか、もしそれができないのなら、その理由を解明したいというのがこの研究の目標である。この問題について、前年度は一様な媒質の中にノイマン型（ロバン）境界条件のみに従う穴があり、それらの穴の境界が十分滑らか（６回連続微分可能）な場合には取り扱いが可能であることが示した。この成果を元に、令和2年度には次の問題に取り組んだ。
(i) 観測地点からの距離が短い方が確実に区別できることを示すための手段の検討
(ii) ディリクレ境界条件の穴もある場合に関する取り扱い
(iii) 境界の滑らかさに関する仮定がどの程度緩められるか
(i)の課題については、ディリクレ境界条件を持つ穴とノイマン型境界条件を持つ穴の両方がある場合において、ある程度満足な結論が得られており、現在、結果の検証中である。一方、(ii),(iii)については今後も議論が必要な状況であり、次年度以降の課題である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
ディリクレ境界条件を持つ穴がある場合が意外に難しいのは、境界の近傍における近似解の微分に対する評価が必要になるのが大きな理由である。昨年度の考察で、これらについては基本的には楕円型境界値問題の各点評価に帰着されること、および、必要な評価は概ね一般論から得られそうなことまではわかっていた。今年度はこの方向で検討を続けることから始め、穴の境界にある程度の滑らかさを仮定すれば、問題なく評価できることはわかった。
次の課題は、境界の滑らかさについての仮定を緩めることである。まず、基本解を用いた先行研究における議論を再確認したところ、2回微分可能な仮定の下で考察されていたが、この部分は1回連続微分可能な境界でも構わないことがわかった（但し、ディリクレ境界条件の穴のみの場合か、ノイマン型境界条件の穴のみであるという条件が必要になる）。そこで、1回連続微分可能という弱い仮定のみで、どこまで議論が可能かについての考察が必要と感じ、それを実行した。この点については、かなりの時間をかけて検討したが、いまのところ良い解答は得られていない。今回考察した限りでは、この問題は難問のようであり、今のところ、少なくとも2回連続微分可能を仮定して議論を行う必要があるという印象である。なお、2回連続微分可能であれば、ディリクレ境界条件であっても、解の評価の部分に限定すれば問題ないことがほぼ確認できた。さらに、4回微分可能であれば議論は普通に回ると思われ、現在確認中である。2回微分可能な場合に通用する議論については、現在、漸近解の構成手順を見直しながら、この場合に適合した近似解の構成について検討中である。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでの2年間で行ってきた考察や証明の大筋についての軌道修正は必要ないと考えている。研究の方向としては、これまでの路線を踏襲したい。令和2年度までに達成した結果を受け、次の課題は、ディリクレ境界条件を持つ穴とノイマン型境界条件を持つ穴の両方がある場合において、観測地点からの距離が短い方が確実に区別できることを示すことにある。それができたら、上の距離が等しくなる場合の考察に進む。この場合は指示関数の評価だけでは対応できず、指示関数の漸近形を導く必要が生じる。この部分については、今回採用している近似解を利用する方法で、漸近形の主要項を取り出せることはほぼ明らかになり、現在確認中である。まずはこの部分を固めたい。
また、穴の境界が十分に滑らかなときは誤差評価も問題なく実行でき、ほぼ最終的な形にまとまることがわかっている。この事実より、次に取り組むべき問題は、穴の境界についての滑らかさが少ないときに、必要な誤差評価に耐えうるように構成する方法を開発し、誤差評価をどの程度正確に実行できるかについて調べることである。誤差評価の証明の大筋をを見直したところ、境界における解の各点評価ではなく、かなり指数が大きいべき乗ノルム評価で代用できることがわかった。この結論を用いると近似解の構成を少し緩やかなものに出来る可能性があると考えられ、今後の議論展開に有用と思われる。
いずれにせよ、近似解の構成をよく見直しつつ、議論が正当化できる構成法について調べる必要がある。この点についての考察がこの研究が進展するための鍵を握っていると感じている。
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| Causes of Carryover |
昨年度末から問題となっている新型コロナウイルス感染症対策のため、計画されていた研究集会の開催が困難で、出張や出張依頼が難しい状況が続いている。一方、インターネットを通じたオンラインセミナー等が徐々に増えて来ているので、それらへの対応のための通信機器の購入を行ったが、今後の動向がわからないため、必要最小限に止めており、そのため、次年度使用額が生じている。新型コロナウイルス感染症に対する対策も今後、変化があると思われるので、将来の動向を見ながら、実際に出張することを計画するのみならず、通信機器のさらなる整備や資料・図書の整理などに予算を使うことにより、今後起こりうる事態への対応を検討する予定である。
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