2023 Fiscal Year Annual Research Report
Possibility of localization methods for inverse problems of time dependent problems
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19K03565
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
川下 美潮 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 教授 (80214633)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 時間依存型逆問題 / 局所化 / 空洞推定 / 介在物推定 / 接合境界問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目標は、時間に依存した微分方程式で記述される逆問題を囲い込み法により調べる際に現れる漸近挙動の解析に対する「局所化」の可能性に関する考察であった。逆問題では観測データから定められた「指示関数」と呼ばれる関数の解析を通じて内部の情報を得ようとする。この問題はHelmholtz方程式におけるパラメータを純虚数にした定常問題の基本解の漸近挙動を調べる問題に帰着させるが、証明を見る限り基本解の一部の情報しか用いていないと思われるため、必要となるべき部分だけを取り出せるような解析を行えば、問題の局所化が出来るはずである。この「局所化」の可能性を調べることが目的であった。本研究は予想以上に難航したが、令和3年度終わりには解決の糸口が見つかり出した。その後、ディリクレ境界条件を持つ穴とノイマン型境界条件を持つ穴が混在する場合において、観測地点からの距離が短い方がどちらかの境界条件の方から与えられる場合には、指数関数についての既存の評価法をうまく組み合わせれば最短の長さが導出できた。今年度はこの成果について論文投稿を行った。
最短の距離が等しい場合は、上記の場合とは異なり、指示関数の評価だけでは対応できないので、指示関数の漸近形を導くことを考えた。昨年度発表の解説記事では境界の滑らかさを多く（6回微分可能程度）仮定すれば、指示関数の漸近形の主要項を導けることを紹介した。この境界の滑らかさの仮定をどれくらい弱めることができるかが大きな問題であった。本研究課題は期間延長を行ったが、最終年度である今年度は、従来の方法ではなく、漸近解を利用した解の積分核表示を積極的に用いることにより、境界の滑らかさを4回微分可能であれば良いことを明らかにした（現在論文投稿中）。本研究を通じ、局所化についての問題の本質は誤差評価方法の開発にあることが明らかになった。この知見を元に、更なる研究の進展を図りたい。
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