2020 Fiscal Year Research-status Report
The Stokes phenomenon on linear or nonlinear, differential and differential equations
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19K03566
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| Research Institution | The University of Tokushima |
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Principal Investigator |
大山 陽介 徳島大学, 大学院社会産業理工学研究部(理工学域), 教授 (10221839)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | q-パンルヴェ方程式 / 漸近展開 / q-超幾何函数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
q-超幾何函数および高階のq-パンルヴェ方程式の接続問題について考察した。q-超幾何函数の接続問題については，前年度に原点もしくは無限遠の一方が強い意味で確定特異点をもつ場合に，接続公式およびストークス現象を完全に決定することに成功していた。この結果を，q-パンルヴェ方程式へと応用するために，鈴木氏らによって発見されたA-型の q-パンルヴェ方程式の接続問題を考察した。
ドリンフェルド・ソコロフ型からの相似還元によって得られるA-型 q-パンルヴェ方程式は特殊解としてq-超幾何函数を持っており，構造的には昨年発見したq-超幾何函数の接続問題が適用可能だと思われるためである。残念ながら，A-型 q-パンルヴェ方程式の漸近解析までには至らなかったが，A-型 q-パンルヴェ方程式のラックス対を考察すると，その退化を取ることによってq-超幾何方程式に帰着することがわかったので，q-パンルヴェ6型方程式の場合とほぼ同様に大域構造が判明する。不確定特異点を持つ場合はまだ計算していないが，確定特異点から不確定特異点への退化操作は同様なので大きな問題はないだろう。
また，長年未完成となっていたq-パンルヴェ6型方程式の指標多様体の構成について，論文が未完であったが，夏にarXivに投稿して査読雑誌にアクセプトされている。この研究も，今後のq-パンルヴェ方程式の基礎となる研究と期待をしている。さらに，q-パンルヴェ3型方程式の漸近解析とq-ストークス係数との対応については，秋の数学会で報告した。他にも，上記の研究に基づいて、2つのWebセミナーでの発表と国際会議の招待講演を1つ行った。
研究の方向がはっきりしたので，2020年度の遅れを最終年度に取り戻したい。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
4: Progress in research has been delayed.
Reason
昨年度はコロナウイルスの問題があり、ほとんど研究が進まなかった。後期になって多少は研究が進んだものの，発表論文は現時点で査読および校正が終わった論文が一つだけで未刊である。2021年中には出版されるのでお許しいただきたい。また，論文は書けなかったが，講演を行ったものについて最低2本は準備中であり，昨年度に完成した結果も準備中なので，2021年には成果をあげていきたい。
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| Strategy for Future Research Activity |
q-超幾何系の接続公式や漸近展開については不確定特異点を複数持つ場合や固有値が重複する場合などが残っており，主要な部分が出来上がったとはいえ，完成にむけて進む予定である。ただ，この方向は本研究の主目的であるq-パンルヴェ方程式の大域解析には直接使えない（いずれ必要になるとは思われる）ので後回しになりそうである。
他方で，q-超幾何系の接続公式をパンルヴェ方程式に適用していく方向は，高階の場合を含めて手法が出揃ったので，この方向を大きく進めることは可能である。今年度は，
(1) q-超幾何系の接続公式の完成
(2) 不確定特異点を二つ持つ場合や固有値が重複する場合のq-超幾何系の接続公式
(3) q-パンルヴェ方程式の大域解析
の3本を目標にする。(1)(3)については大きな方針は立っているので，時間との戦いである。(2)については、退化の度合いがさらに大きいものや一般的でない特殊なケースが対象である。(3)については、q-パンルヴェ方程式の種類によっては手法が様々なので、取りあえず各個撃破戦術になる。また，次年度以降の研究に向けての準備もしっかりしていきたい。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスの拡散のために旅費が使用できなかった。このため，昨年度よりの繰越も含めて2年分の旅費が使えなかったのが次年度使用額が大きくなった理由である。今年度は，後期には旅費を使える機会があるかもしれない。また，物品も講演する機会の増えたWebセミナーを自分が話すだけでなく主催できるように備品を整えていきたい。
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