2019 Fiscal Year Research-status Report
Mathematical analysis for Navier-Stokes equations with approximate parameter
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19K03577
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| Research Institution | Ochanomizu University |
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Principal Investigator |
久保 隆徹 お茶の水女子大学, 基幹研究院, 准教授 (90424811)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
齋藤 平和 電気通信大学, 大学院情報理工学研究科、情報理工学域 共通教育部, 准教授 (30754882)
高安 亮紀 筑波大学, システム情報系, 助教 (60707743)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 近似パラメータ / Cattaneo則 / 圧力安定化法 / 時間遅れパラメータ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では【課題A】圧力安定化法による近似問題の解析，【課題B】Cattaneo則を用いて導出したNavier-Stokes方程式の解析，の２つの課題について取り組んでいる．
【課題A】については全空間や半空間での半群評価について考察した．近似問題の線形化問題に対応するStokes半群は，通常のStokes半群と同様の評価を得ることができ，誤差が満たす非線形問題の線形化問題に対応するStokes半群は，指数関数的に減衰するような評価を得ることができた．
【課題B】については外部領域において考察を行った．特に，非線形問題の時間大域解の存在を証明するための第１段階として，線形化問題の時間局所解の存在と一様評価について考察を行った．通常の線形化問題を考えることが難しいため，近似項を入れた問題について考察を行った．それにより，通常のStokes半群の最大正則性定理を用いて近似問題の線形化問題の時間局所解を証明ができた．また，近似パラメータに対する一様評価も証明することができ，近似項を取り除いた線形化問題の時間局所解の存在定理も考えることができるようになった．
また，時間遅れパラメータの考察として，時間遅れの項をもつBurgers方程式の考察を行った．時間遅れの項をもつバーガーズ方程式は交通流の数理モデルとして考えられ，重要な方程式である．この問題に対して，時間遅れのパラメータと初期履歴の大きさの積が十分小さい場合に時間大域解が存在することを証明することができた．通常のBurgers方程式では，（自然に設定される関数空間に属する）任意の初期値に対して時間大域解を示すことができているが，その結果を時間遅れをもつ場合に拡張できたことになる．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
【課題A】については，全空間や半空間において半群の誤差評価が得られているので，これをもとに(1) 有界領域についても同様の評価を導けるか，(2)誤差評価はどういうものになるのかについて考察を進められる．
【課題B】については，今年度の結果を用いて，対応する線形化問題の時間局所解の存在定理について考察を進められる．また，時間遅れパラメータの考察として，時間遅れの項をもつBurgers方程式の考察に対して，大域解の存在を証明ができたので，時間遅れのパラメータに注目した誤差評価や，時間遅れの項をもつBurgers方程式の特徴の考察を進められる．
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| Strategy for Future Research Activity |
【課題A】については，通常のNaveir-Stokes方程式の場合と同様にして，圧力安定化法を用いた近似方程式を有界領域について考える．研究分担者の齋藤平和氏（電気通信大学）とともに半群評価や最大正則性についての評価を考察する．また，数値シミュレーションや関連する計算機援用解析の考察を研究分担者の高安亮紀氏（筑波大学）とともに進める予定である．
【課題B】については，研究協力者の中村憲史氏（筑波大学）と一緒に進める．線形化問題の時間局所解の存在定理の考察から始め，それができ次第，非線形問題の時間局所解，時間大域解の存在定理の考察と進める．既存の全空間での考察を参考にしながら進める．また，時間遅れについて考察するために，時間遅れパラメータをもつBurgers方程式の解の考察を行う．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウィルスの影響で，年度末の出張ができなかったため，翌年度に繰り越しが発生した．そのため，次年度は出張の機会を増やす，または書籍などの研究資料の収集に当てる予定である．
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