軌道の存在確率密度をもつ力学系の大域挙動に関する研究

2022 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 19K03585
• Research Institution: Kumamoto University
• Principal Investigator: 鷲見 直哉 熊本大学, 大学院先端科学研究部(理), 教授 (50301411)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: 解析学 / 力学系 / エルゴード理論

Outline of Annual Research Achievements

本研究の目的は，軌道同士の振舞いに関するある局所的な条件から，軌道の存在確率密度に関する次の大域的な性質(1)と(2)を導くことである：(1)すべての軌道の存在確率密度が決まるならば，この存在確率密度が一意的に決まる．(2)有限時間での軌道の存在確率密度と，無限に時間が経過した軌道の存在確率密度との差は，エントロピーとポテンシャルという２つの値を用いて具体的に表示できる．特に本研究では，互いに異なる軌道の組に対して，一方の軌道の近くから他方の軌道の近くに移動する別の軌道がある，という局所的条件のみから上の性質(1)と(2)を導くことを目的とする．
更に，本研究の応用として，次の結果(3)を導く．(3)稠密な軌道をもつ可微分力学系が，摂動を加えてもその性質を失わないならば，性質(1)と(2)を満たす．
(1)に関連して，明記性を持つ力学系に対して軌道の存在確率密度の一意性を調べた．一意性が成り立たないとすると，Katokの定理により2つの双曲型集合が構成できる．明記性により，それぞれの安定多様体と不安定多様体が交点を持つ．これらの交点の中に一つでも横断的な交差が存在すると，Hopfの議論を用いることで矛盾が導かれ，一意性が証明できる．よって，横断的な交差を見つけることが目標である．
背理法での証明を目指した．全ての交点が横断的な交差ではないと仮定する．今、2つの周期点の安定多様体と不安定多様体の交差に注目する．一方の不安定多様体から他方の不安定多様体に対して安定多様体に沿う写像(ホロノミー写像という)を考える．一方の不安定多様体の(拡張された)ホロノミー写像による他方の不安定多様体への像を調べる．この像が内点を持てば，インクリネーション補題により，反復による像を考えることで横断的な交差が見つかる．しかし，内点を見つけることができなかったため引き続き内点の存在の証明を目指す．

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

今年度の研究では，性質(1)の証明を目指したが，目標を達成できなかったため．

Strategy for Future Research Activity

研究実績の概要で述べた局所的条件から，大域的性質(1)と(2)を導くことを次年度の目標とする．(1)については，全ての周期点の組みに対して、その安定集合と不安定集合が位相的横断的な交点をもつ力学系に対して，存在確率密度の一意性を示す．(2)については，強横断性を満たす公理A力学系に対して，有限時間での軌道の存在 確率密度と，無限に時間が経過した軌道の存在確率密度との差を評価する．

Causes of Carryover

令和4年度に計画されていたほとんどの研究集会が新型コロナウィルスの影響で（一部の対面での参加者を除いて）遠隔での開催となり，研究打ち合わせも延期となった．そのため，計画されていた出張を延期せざるを得なくなり，次年度使用額が生じてしまった．新型コロナウィルスが収束したのち，各研究集会に出席し研究打ち合わせを再開する予定である．