2019 Fiscal Year Research-status Report
New developments in infinite dimensional stochastic analysis based on constructions of spaces of generalized functionals and applications to quantum information theory
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19K03592
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| Research Institution | Meijo University |
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Principal Investigator |
齊藤 公明 名城大学, 理工学部, 教授 (90195983)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
三町 祐子 名城大学, 理工学部, 准教授 (00218629)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 超汎関数空間 / 無限次元確率解析 / 無限次元ラプラシアン / 量子情報論 / 量子確率論 / ホワイトノイズ理論 / 力学系理論 / 数理ファイナンス |
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| Outline of Annual Research Achievements |
令和元年の科学研究費助成金を受け，超汎関数空間の構成に基づき，無限次元確率解析を構築し，量子情報論等への応用展開を行った．得られた主な成果として，下記を挙げる．1）無限次元ブラウン運動のデルタ超汎関数を新しく定義し，この超汎関数に基づき，高次レヴィラプラシアンの生成する空間を分解することに成功した.（IDAQPに投稿した）この成果に基づき，Accardi氏，Ji氏とともに量子情報解析として更なる展開を行っている．2）ホワイトノイズ汎関数空間上のS変換の特徴付けとしての条件（解析的条件かつ増大条件）がノルムの可測性により説明できることに成功した.（IDAQPに掲載された）3）時点独立な確率過程のニア・マルチンゲールによる確率積分の理論構築及び応用展開をKuo氏との共同研究として進め，伊藤理論の発展としての一般化定理を得た.（COSAに掲載された）4）超関数同士の積に閉じている新しい超関数空間を導入することができ，この空間上に作用するレヴィラプラシアン，ヴォルテララプラシアンのデルタ超関数を用いた積分表現を得ることが出来た．この空間では量子場における発散量も超関数として定義できるため，無限次元ブラウン運動のべき乗も繰り込み無しで自然に定義でき，現在 成果 1) との関連性の研究を継続している．5）チェザロ型量子大数の法則を議論することにより，高次レヴィラプラシアンがこの大数の法則の収束先であることを証明した．本成果は量子確率論が本研究における無限次元確率解析の構築研究に帰着し，またこれが基盤になることを示唆している. 研究分担者の三町氏と共同して研究を継続している．6）フラクショナルポアソンノイズに基づいた確率解析を構築し，ファイナンスへの応用を試みている他，確率過程のシミュレーションについても離散ホワイトノイズ汎関数解析の観点から研究を始めている．次年度以降成果をまとめる．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
新しい視点の超関数空間の構成から高次レヴィラプラシアンに基づいた無限次元確率解析を理論構築し，量子確率論，量子情報論への応用展開の成果は順調に進んでいる．これらの成果の中には，長年未解決であった問題に対する肯定的解決も含まれている．さらに，ホワイトノイズ超汎関数空間上の作用素に関する基礎理論研究と量子大数の法則への応用研究は本研究が量子確率論，量子情報論の基盤となることを明確にしている．研究協力者のAccardi氏，Kuo氏との連携，共同研究も成果をあげてきている．研究分担者の三町氏との共同研究も現在まとめの段階にきている。離散ホワイトノイズに基づく確率過程のシミュレーションの準備も進めているが，確率的探索アルゴリズムなどを通じ，数理・データサイエンスへの新しい確率的アプローチとして還元することも試みる環境も整えている．
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| Strategy for Future Research Activity |
理論研究については継続して成果を上げ，まとめるようにし，論文にて公表する．最終年度に向けて成果を整理し，より応用に適した理論構築を進めるため，離散ホワイトノイズに基づいたシミュレーション理論を構築し，実際にシミュレーション数理実験も試みる．特に，ファイナンス，量子情報，力学系理論などへの応用展開を中心に検討していく．現在は，出張や研究集会開催等が困難なことが多いため，成果を出していく方向で研究分担者、研究協力者との連携をインターネット電子ベースで進め，論文作成，シミュレーション実験を中心に進めていく．
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| Causes of Carryover |
ソフトウェア購入の際に10390円の差額が生じたため、次年度の関連専門書籍等購入に繰り込むことにした.
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