2021 Fiscal Year Research-status Report
New developments in infinite dimensional stochastic analysis based on constructions of spaces of generalized functionals and applications to quantum information theory
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19K03592
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| Research Institution | Meijo University |
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Principal Investigator |
齊藤 公明 名城大学, 理工学部, 教授 (90195983)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
三町 祐子 名城大学, 理工学部, 准教授 (00218629)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 超汎関数空間 / 無限次元確率解析 / 無限次元ラプラシアン / 量子情報論 / 量子確率論 / ホワイトノイズ理論 / 力学系理論 / 数理ファイナンス |
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| Outline of Annual Research Achievements |
令和３年の科学研究費助成金を受け，引き続き超汎関数空間の構成に基づき，無限次元確率解析を構築し，量子情報論等への応用展開を行った．得られた主な成果として，下記を挙げる．1）令和２年に成果を出した無限次元ブラウン運動を変数とするデルタ超汎関数をに関する確率解析を展開し，無限次元ブラウン運動の超汎関数解析を構築した.これにより無限次元ラプラシアン（高次レヴィラプラシアン）に基づく超汎関数微分方程式を導出することができた．2）1）の成果に基づき，Accardi氏，Ji氏とともにこのデルタ超汎関数の掛け算作用素から量子ホワイトノイズ微分方程式を導出し，量子情報解析として更なる展開を行い論文をまとめた．この方程式はボゴリューボフ変換， ギルサノフ変換の量子拡張に深く関連し，量子情報解析の基盤となっている.（論文投稿中）3）チェザロ型量子大数の法則と高次レヴィラプラシアンの特徴づけについて研究分担者の三町氏と共同して論文をまとめて投稿した．これは高次レヴィラプラシアンの量子確率論的意味を与えている．作用素論上で大数の法則を考える際の期待値に対応するものと考えられる．4）高階フラクショナル差分方程式を議論することにより，高階フラクショナルポアソン過程の分布との関連性を明らかにし，更に高階フラクショナルポアソンノイズに基づいた確率解析を構築することに成功した．更に関連してHille-Yosidaの定理の拡張を得ることが出来，論文をまとめている．5）確率過程のシミュレーションと量子情報論との関連性を得た．6）研究代表者が考案する超関数同士の積に閉じている新しい超関数空間上の確率解析の立場から，1）のデルタ超汎関数を考察し，量子場における発散量を示す超関数との関連性の研究も継続している．成果は出ているが，論文の発行が遅れていることもあり，最終年度は早めに論文として公開できるようにする．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
高次のレヴィ・ラプラシアンはチェザロ型量子大数の法則により特徴づけることが出来，無限次元ブラウン運動を変数とするデルタ関数をホワイトノイズ超汎関数として新たに提唱して，高次のレヴィ・ラプラシアンによる無限次元のシュレディンガー方程式やヴォルテラ・ラプラシアンによる伊藤の公式の拡張も得た．このことから無限次元ブラウン運動を変数とする一般のホワイトノイズ超汎関数に関する確率解析をも導出することができた．代表者の提唱している超関数空間論とも関連付けることができ，量子物理における発散量の超汎関数による定式化により、確率解析として新しい展開が可能になった．今年度は出張が出来ないことが多く，ウェブ上にて打ち合わせ，議論，講演などを行い，共同研究に繋げている．ホワイトノイズ超汎関数空間上の作用素に関する基礎理論研究と量子大数の法則への応用研究は本研究が量子確率論，量子情報論の基盤となることを明確にしている．これらの成果の中には，長年未解決であった問題（特に無限次元超関数の特徴づけ）に対する肯定的解決も含まれている．研究協力者のAccardi氏，Kuo氏との連携，共同研究も成果をあげてきている．研究分担者の三町氏との共同研究も論文としてまとめた。離散ホワイトノイズに基づく確率過程のシミュレーションを実際に行い，確率的探索アルゴリズムなどを通じ，数理・データサイエンスとしての役割を見出すこともできた．まとめた論文については順次投稿しているが、未だ発行されていない状況であり、研究期間を延長することにした．今年度は成果を論文にまとめ，公開することに集中する．
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| Strategy for Future Research Activity |
理論研究については継続して成果を上げ，得られた成果についてはすべてまとめるようにし，論文にて公表する．最終年度のため成果の総括を行い，応用に適した理論構築を進める．提唱する無限次元確率解析を無限次元ラプラシアンに基づき整理し，発散量を超関数として体系的に現象を捉えると同時に，離散ホワイトノイズに基づいたシミュレーション理論を構築し，シミュレーション数理実験の成果の整理を行う．特に，ファイナンス，量子情報，力学系理論などへの応用展開を中心に整理する．現在は，出張や研究集会開催等が困難なことが多いが，リモートなどを利用してセミナー，講演会などを開催する．成果については最終的にまとめる方向で研究分担者、研究協力者との連携をインターネット電子ベースで進める.論文作成，シミュレーション実験結果もまとめに入り，最終的に成果を総括し，公開する．
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| Causes of Carryover |
役職業務の多忙及びコロナ禍で，出張，研究集会などの対面開催が困難であったため，本助成金を部分的に使用が出来ない状況であった．本年度ではリモート対応も含め，特に講演会や研究集会，セミナーなどを行い，講師謝礼金，（可能であれば）出張費などに計上する。
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| Remarks |
Editorial Board: Journal of Stochastic Analysis https://digitalcommons.lsu.edu/josa/editorialboard.html
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