2019 Fiscal Year Research-status Report
Tropical mathematics and combinatorics on Young tableaux
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19K03605
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| Research Institution | Tokai University |
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Principal Investigator |
岩尾 慎介 東海大学, 理学部, 講師 (70634989)
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2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 対称多項式 / グロタンディーク多項式 / ボゾンフェルミオン対応 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は超離散可積分系と呼ばれる数学的対象を通して、可積分微分方程式（連続な世界のもの）と組み合わせ論（離散的な世界のもの）をつなぐことが目的である。先行研究においては、超離散KP方程式、すなわち微分方程式の情報を抽出した方程式と、Young盤の組み合わせ論にまつわるjeu de taquin, 行挿入などの組み合わせ論的な操作のつながりに着目し、重要な「整化の一意性定理(uniqueness of rectification)」の「意外な別証明」に到達した。
本年度はその内容を発展させ、未知の組み合わせ論的問題に本研究のアプローチが適用できるかどうかを研究した。これは具体的には「set-valued Tableauの組み合わせ論に古典可積分系の理論を応用できるか？」という問題にまとめられる。Set-valued Tableauは、旗多様体のK理論という代数幾何学的に興味深い世界から生まれた組み合わせ論の対象で、表現論や「グロタンディーク多項式」と呼ばれる特殊な対称多項式と深い関係がある。本研究ではグロタンディーク多項式に着目し、可積分系との関係に焦点を当てた研究を行った。本年度の成果は以下の通り「１．グロタンディーク多項式と、その双対対称多項式をボゾンフェルミオン対応を使って記述し、種々の行列式公式を得た」「２．C型のK理論的対称多項式をボゾンフェルミオン対応を用いて記述した」。
１，２、両方の結果について「ボゾンフェルミオン対応」が登場するが、これは数理物理の世界で汎用される代数的テクニックであり。この成果を通して旗多様体のK理論と可積分系の関係が明らかになると期待される。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度のテーマである可積分系と組み合わせ論の研究に対して、これに関わる論文を２編執筆し、１編は海外の論文誌に掲載が決定している。さらに現在もう１編の論文を執筆中であることを考えると、おおむね順調に進展していると考える。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでの成果を踏まえて、今後は以下の問題に取り組みたい。「１．Set-valued tableauの数学を記述する超離散可積分系の発見。」「２．Set-value tableauの整化の一意性の証明。」
１に関しては、これまでの成果によりある程度の傍証・証拠は得られてはいる。しかし、肝心の超離散可積分系の発見（もともとの研究動機）には至っていない。２は、１の研究が完成すれば自然と想起される問題である。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウィルスの影響により、出張を予定していた国内研究集会（日本数学会年会）が中止になったため。使用されなかった金額は、次年度の出張費用に充てる予定である。
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