Analysis of growing sequences of graphs in terms of quantum-classical correspondence and quantum chaos, and its applications

2022 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 19K03608
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 12030:Basic mathematics-related
• Research Institution: Kogakuin University (2020-2022); Nagoya Bunri University (2019)
• Principal Investigator: Saito Seiken 工学院大学, 教育推進機構(公私立大学の部局等), 准教授 (90525164)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 長谷川 武博 滋賀大学, 教育学系, 教授 (80409614) ; 西郷 甲矢人 長浜バイオ大学, バイオサイエンス学部, 教授 (80615154) ; 杉山 真吾 日本大学, 理工学部, 助手 (70821817) ; 谷口 哲也 金沢工業大学, 基礎教育部, 准教授 (90625500)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: 正則グラフ / ラマヌジャングラフ / グラフの増大列 / グラフ上の量子カオス / 伊原ゼータ関数 / フーリエ係数

Outline of Final Research Achievements

(1) We obtained a limit theorem that the moments for matrices whose components are the number of non-backtracking paths in a regular graph is similar to the moment of the arcsin law. (2) We obtained a result on the average of the prime power th Fourier coefficients of the cusp forms of weight 2 related to the Lubotzky-Phillips-Sarnak Ramanujan graphs. (3) We gave explicit expressions for the moments of the generalized Kesten distribution. We obtained identities for the moments in two generalizations of the classical Catalan numbers.(4) We studied the resolvent of the adjacency matrix of a regular graph and the matrix related to the number of non-backtracking paths. As an application, we obtained that the limiting distribution of the error term is normally distributed when a growing sequence of regular graphs satisfies certain conditions on the eigenvalues.

Free Research Field

グラフ理論

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

ラマヌジャングラフなどに代表される効率のよいネットワークの特徴づけとして,グラフ上の量子エルゴード定理や量子カオスに注目した研究を行った.量子カオスは,ラプラシアンの固有関数の挙動に関する現象である.ラプラシアンや固有関数のふるまいを調べる基礎として, 我々は, 正則グラフの隣接行列のレゾルベントに現れる幾何的な量に着目し,その非自明な部分の分布について決定した. また,巨大な正則グラフの隣接行列の固有値の分布などの例に現れるケステン分布の一般化について,そのモーメントに関する新しい等式などが得られた. この結果は,上記のグラフの幾何的な量にも関係する.