2020 Fiscal Year Research-status Report
組合わせ的離散構造に対する量子ウォークの共鳴現象による逆問題的アプローチ
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19K03616
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| Research Institution | Yokohama National University |
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Principal Investigator |
瀬川 悦生 横浜国立大学, 大学院教育強化推進センター, 准教授 (30634547)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 量子ウォーク / 電気回路 / Max-Plus代数 / スペクトル散乱 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
前年度に考案し、またその定常状態に収束することを示した量子ウォークの力学系モデルに対して次のようにさらにその詳細を考察した。可逆なランダムウォークから誘導される量子ウォークにおける定常状態は、実は電気回路によって記述されるという、量子ウォークの研究において新しい発見をすることができた。またそのグラフの表面における大域的な散乱は、局所的なダイナミクスがそのまま反映されることを数学的に明らかにした。その一方で、非可逆なランダムウォークから誘導される量子ウォークの定常状態においては、ある種のキルヒホッフ則を満たし、そのグラフの表面における大域的な散乱は、完全反射になることを数学的に明らかにした。
さらに定常状態に収束するこのモデルを一次元格子のより具体的な場合について考察することにより、有限サポートをもつ量子コインの摂動がある場合の散乱について、より詳細な計算ができることを示した。具体的には量子ウォークで展開されているパスの数え上げの方法を用いることによって、その定常状態の詳細、特に量子ウォークの散乱行列が明示的に計算できることを証明した。さらに有限サポートをもつデルタポテンシャルを摂動とする定常シュレディンガー方程式の解を与える、対応する量子ウォーク模型(=量子グラフウォーク)を作ることができることも解り、両者をこのモデルによって繋げることができた。
また並行して量子ウォークというものの描像をより理解するための基礎研究として、(1)背後にあるランダムウォークと誘導される量子ウォークの挙動関係性; (2)量子ウォークの超離散化について考察た。(1)に関しては背後にランダムウォークの再帰確率によって量子ウォークのグラフの表面における挙動が左右されることを示し、(2)では量子ウォークダイナミクスのMAX-Plus代数の類推を行い、その保存量を与えた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
定常状態に収束する量子ウォークの力学系モデルに対してさらにその詳細な挙動が明らかになり、電気回路との密接な対応関係が明らかになった。シュレディンガー方程式で展開されている手法を量子ウォークに輸入し、その中で量子ウォークで従来行われてきた解析的手法であるパスの数え上げの手法をミックスすることにより、量子ウォークにおける散乱行列の具体的な表示が示された。これは従来のシュレディンガー方程式ではその存在が示されているのみであった散乱行列の具体的な表示も、量子グラフウォークとしてみることによって、定常シュレディンガー方程式へフィードバックすることができることを言っている。このように、スペクトル散乱理論の専門家との共同研究が進展し、当初の予定通りに順調に進展している。
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| Strategy for Future Research Activity |
定常状態に関するグラフの特徴づけは、電気回路との関係性が今年度の研究で明らかになったため、グラフに滞在している量子ウォーカーの二乗和をエネルギーと呼び、この量に着目して、グラフの幾何的な特徴量が抽出されることが期待される。例えばスパニングツリーの個数などが出てくることが容易に予想される。このことによって「量子性」から誘導されるグラフの幾何構造を見ることができる。また、本研究の計画通り、今年度は量子探索へのアプローチを考察している。この量子ウォークモデルは定常状態に収束するので、従来のように周期的に探索ターゲットとなる頂点周辺の確率振幅が増幅されるのではなく、安定してその発見確率が高いままでいるため、より実用的なものになることが期待される。またその収束に必要な時間はに関するオーダーについては、グラフ上のランダムウォークとの関係を吟味しつつ考察を続けていく。
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| Causes of Carryover |
コロナ禍により、国際ワークショップの参加のための出張などを行うことができなかったため。次年度は(1)論文の英文校正、(2)オープンアクセスなどをすることで、より多くの人に読んでもらえるようにする。さらに(3)オンラインによる研究の打ち合わせがより効率的にできるための備品を拡充する。
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