2023 Fiscal Year Annual Research Report
組合わせ的離散構造に対する量子ウォークの共鳴現象による逆問題的アプローチ
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19K03616
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| Research Institution | Yokohama National University |
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Principal Investigator |
瀬川 悦生 横浜国立大学, 大学院環境情報研究院, 准教授 (30634547)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 量子ウォーク / 定常状態 / 行列木定理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ユニタリ時間発展作用でグラフ上の各頂点の平面波の散乱を与える量子ウォークにおいて、線形的な拡がり、局在化という有名な2大性質に加えて、共鳴現象に関する数理的構造について研究を行った。特に、この共鳴現象が誘導する、定常状態、グラフの表面における量子ウォークの散乱と、グラフ内部に滞在する量子ウォークのエネルギー(快適度)に着目し、これらのグラフの構造による特徴付けを次のように試みた。
(1) 定常状態：入力振動数が一定の場合、量子ウォークの時間発展を記述する背後にあるランダムウォークが可逆な場合、電気回路の電流とこのランダムウォークの定常状態の線形和によって表されることを証明した。
(2) 散乱行列：一般の入力振動数における、一般化ラプラシアンを用いた散乱行列の表示を与えた。その応用としてグラフの2部グラフ性を、完全反射か完全透過によって判別する方法を与えた。
(3) 快適度：入力が、一定振動もしくは、交代振動の場合、グラフの幾つかの全域部分グラフの数え上げによって、与えられることを、行列木定理の証明のアイディアを用いて、証明した。特に、この快適度を与えるのに重要な、サイクルを奇サイクルとして唯一つだけ存在させる全域部分グラフ「単一奇サイクル分割」は、量子性が起因する特有のグラフの内部構造として、挙げられる。また、一般の振動数の場合については、通常のラプラシアンと符号付ラプラシアンを振動数パラメータで連続的に繋ぐ、一般化ラプラシアンを用いた表示が得られる。この表示は、一見すると、ある先行研究などで考察されていた入力振動数において、特異点を持つように見えるが、除去可能特異点となることが、加藤の摂動論などを用いて、証明した。
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