2019 Fiscal Year Research-status Report
Singularities of intrinsic geometric structures and applications to surfaces and hypersurfaces in Lorentzian spacetimes
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19K14526
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| Research Institution | Yokohama National University |
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Principal Investigator |
本田 淳史 横浜国立大学, 大学院工学研究院, 准教授 (90708611)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 混合型曲面 / Janet-Cartan 型定理 / 等長埋め込み / 光的超曲面 / 光的点 / 光的完備性 / 特異点 / Bernstein 型定理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ローレンツ・ミンコフスキー空間の正則曲面に対し，その接空間が光的部分空間であるような点を光的点という．光的点は，曲面の第一基本形式（誘導計量）の退化点として特徴づけられ，計量の特異点とみなされる．曲面の任意の点が光的であるとき，その曲面を光的曲面という．平面でない光的曲面の多くの例は特異点を持つものが多く，そのため「完備な光的曲面は光的平面に限る」のようなCalabi-Bernstein型の定理が成り立つことが期待される．しかし，光的曲面は距離空間でなく，完備性に代わる概念を導入する必要がある．研究代表者は，光的超曲面は光的測地線に覆われること（Galloway，Kossowski，Umehara-Yamada）に基づいて光的完備性を導入し，光的完備な光的超曲面は全測地的であることを示した．この結果はローレンツ・ミンコフスキー空間に限らず，光的エネルギー条件を満たすローレンツ多様体の光的超曲面に対して成り立つ．その応用として，超平面全域において定義される光的グラフは光的超平面に限ることも示した．
ローレンツ・ミンコフスキー空間の連結な正則曲面で空間的点，時間的点，光的点を含むものを混合型曲面という．それらの第一基本形式（誘導計量）は，定義域の2次元多様体に混合型計量を定める．逆に，与えられた混合型計量を持つ2次元多様体は，ローレンツ・ミンコフスキー空間の混合型曲面として等長的に実現（等長埋め込み）できるだろうか．正定値計量の場合にはJanet-Cartanの定理により，与えられた実解析的な2次元リーマン多様体は，3次元ユークリッド空間の曲面として局所的に等長的に実現できることが知られている．研究代表者は，与えられた混合型計量を持つ2次元多様体は，実解析的かつジェネリックな場合には，ローレンツ・ミンコフスキー空間の混合型曲面として局所的に等長的に実現できることを示した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
光的超曲面の大域的性質の研究については，目標としていたBernstein型の定理を得ることができた．さらに，混合型計量の等長実現については，ジェネリックな場合にJanet-Cartan型の定理を示すことができた．そのため，順調に進展していると思われる．
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| Strategy for Future Research Activity |
ローレンツ時空内の光的超曲面に光的完備性を導入し，Bernstein型定理を導くことに成功した．今後は，そのような完備性を波面に拡張し，特異点を許容する光的超曲面の大域的理論の確立を目標とする．また最近，混合型曲面に対するガウス・ボンネ型の定理がBernig-Faifman-Solanesのプレプリントにおいて報告された．今後は，そのような結果を含む統一的な枠組みで，特異点を許容するような計量に対するガウス・ボンネ型の定理の樹立を目指す．
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| Causes of Carryover |
予定していた出張が新型コロナウイルスの影響で中止となった．次年度以降に延期となったため，その旅費等に使用する．
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