2020 Fiscal Year Research-status Report
Singularities of intrinsic geometric structures and applications to surfaces and hypersurfaces in Lorentzian spacetimes
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19K14526
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| Research Institution | Yokohama National University |
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Principal Investigator |
本田 淳史 横浜国立大学, 大学院工学研究院, 准教授 (90708611)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 混合型曲面 / Bernstein型定理 / 平均曲率一定超曲面 / 光的近似 / ド・ジッター空間 / 空間的平均曲率1曲面 / 5/2カスプ辺 / 特異点の双対性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ローレンツ・ミンコフスキー空間の正則曲面に対し，その接空間が光的部分空間であるような点を光的点という．光的点は，曲面の第一基本形式（誘導計量）の退化点として特徴づけられ，計量の特異点とみなされる．研究代表者は先行研究において，混合型曲面のガウス曲率の挙動を調べるために，第1種光的点における不変量（光的特異曲率，光的法曲率等）を導入した．一方で，曲面の性質を理解する際にモデル曲面による近似を考察することは重要である．研究代表者は，泉屋周一氏（北海道大学），佐治健太郎氏（神戸大学），寺本圭佑氏（広島大学）らとの共同研究で，3次元ローレンツ・ミンコフスキー空間の混合型曲面の光的点において，光的接触曲面と光的横断的曲面と呼ばれる2つの光的曲面を調べた．とくに，混合型曲面の光的点における不変量である光的特異曲率と光的法曲率を用いて，2つの光的曲面の特異点を判別できることを示した．また，川上裕氏（金沢大学），小磯深幸氏（九州大学），通峻祐氏（金沢大学）との共同研究において，ローレンツ・ミンコフスキー空間の空間的もしくは時間的な超曲面の平均曲率に対するHeinz型の不等式を示し，その応用として，ある種の勾配の制限の下で空間的平均曲率一定超曲面に対するBernstein型の定理を導いた．さらに，佐藤媛美（横浜国立大学）との共同研究で，3次元ド・ジッター空間の平均曲率1曲面の特異点を調べ，非退化な特異点の分類を与えた．その応用として，平均曲率1曲面には折り目特異点が現れないことや，一般化錐状特異点と5/2カスプ辺の間の特異点の双対性，カスプ状Sk特異点と一般化Ak+3特異点との間の双対性を導いた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
混合型曲面の光的点における光的曲面による近似を考察することで，先行研究で導入していた混合型曲面の光的点における不変量（光的特異曲率，光的法曲率）の幾何学的性質の解明が進んだ．さらに，勾配制限下における空間的平均曲率一定超曲面に対するBernstein型の定理を示すことができ，順調に進展していると思われる．
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| Strategy for Future Research Activity |
現在，ローレンツ・ミンコフスキー空間の光的超曲面を波面として研究中である．特異点を許容する光的超曲面の大域的理論の確立を目標として，光的波面において光的完備性を導入し大域的性質を調べている．また，曲率有界性の仮定を外した一般の混合型曲面に対するガウス・ボンネ型の定理を目指して，曲率積分の発散項と混合型曲面の光的点における不変量（光的特異曲率，光的法曲率）との関係を調べる．
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| Causes of Carryover |
予定していた出張が新型コロナウイルスの影響で中止となった．多くは遠隔での対応となり，通信機材の整備を行った．2021年度に延期となったものもあり，その旅費等にも充てる予定である．
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