2022 Fiscal Year Research-status Report
Singularities of intrinsic geometric structures and applications to surfaces and hypersurfaces in Lorentzian spacetimes
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19K14526
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| Research Institution | Yokohama National University |
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Principal Investigator |
本田 淳史 横浜国立大学, 大学院工学研究院, 准教授 (90708611)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | Bourの補題 / 混合型曲面 / 混合型計量 / 等長変形 / 等長埋め込み / 等長はめ込み / 等長実現 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ローレンツ・ミンコフスキー空間の正則曲面に対し，その接空間が光的部分空間であるような点を光的点という．光的点は，曲面の第一基本形式(誘導計量)の退化点として特徴づけられ，計量の特異点とみなされる．ローレンツ・ミンコフスキー空間の連結な正則曲面で空間的点，時間的点，光的点を含むものを混合型曲面という．それらの第一基本形式(誘導計量)は，定義域の2次元多様体に混合型計量を定める．逆に，与えられた混合型計量を持つ2次元多様体は，ローレンツ・ミンコフスキー空間の混合型曲面として等長的に実現(等長埋め込み)できるだろうか．正定値計量の場合にはJanet-Cartanの定理により，与えられた実解析的な2次元リーマン多様体は，3次元ユークリッド空間の曲面として局所的に等長的に実現できることが知られている．研究代表者は，以前の研究（arXiv: 1908.01967）において，与えられた混合型計量を持つ2次元多様体は，実解析的かつジェネリックな場合には，ローレンツ・ミンコフスキー空間の混合型曲面として局所的に等長的に実現できることを示した．そこで，実解析性の仮定を弱めることができるかどうかを調べた．螺旋曲面に対してはBourの補題により，非自明な等長変形の存在が明示的な写像で与えられることが知られている．研究代表者は，そのようなBourの補題を混合型曲面に拡張することに成功した．鍵となるのは，混合型曲線の標準的パラメータの存在を示すことである．この結果により，上記の実解析的な混合型計量の等長実現定理を，余等質性1の混合型計量であれば滑らかなクラスに拡張できることがわかった．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
現在，曲率有界性の仮定を外した一般の混合型曲面に対するガウス・ボンネ型の定理を目指して，曲率積分の発散項と混合型曲面の光的点における不変量(光的特異曲率，光的法曲率)との関係を研究している．これに関しては特異積分の調査が想定より時間がかかっており，当初の計画より進展が遅れている．引き続き，研究を進めていきたい．
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| Strategy for Future Research Activity |
上記，現在までの進捗状況の通り，曲率有界性の仮定を外した一般の混合型曲面に対するガウス・ボンネ型の定理を目指して，曲率積分の発散項と混合型曲面の光的点における不変量(光的特異曲率，光的法曲率)との関係の研究を進める．それに加え，ガウス曲率の絶対値の積分をベッチ数の総和で評価するチャーン・ラショフの定理も混合型曲面に拡張できるかどうか調べていきたい．
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| Causes of Carryover |
予定していた出張が新型コロナウイルスの影響で延期せざるを得なくなったものがあった．2023年度に延期となったものもあり，その旅費等にも充てる予定である．
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