Calculations of representation categories of quantum groups by linear skein theory and its applications to quantum topology

2023 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 19K14528
• Research Category: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Review Section: Basic Section 11020:Geometry-related
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: Yuasa Wataru 京都大学, 理学研究科, 特定助教 (80824961)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: スケイン関係式 / スケイン代数 / クラスター代数 / 色付きジョーンズ多項式 / 量子不変量 / 曲面のモジュライ空間

Outline of Final Research Achievements

We show the existence of tails of the sl(3) Jones polynomials colored by irreducible representations with the highest weight (n,0) for adequate links. For sp(4), we obtained an explicit formula of tails for (2,m)-torus links colored by irreducible representations of the highest weights (n,0) and (0,n).
In collaboration with Tsukasa Ishibashi, we showed that the clasped skein algebras of sl(3) and sp(4) can be embedded into the quantum cluster algebras of marked surfaces associated with sl(3) and sp(4).

Free Research Field

量子トポロジー

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

高階の結び目の　tail の明示式については、 sl(3) の場合にトーラス絡み目の tail が頂点作用素代数のある表現に関する指標と対応することが示された。そのため sp(4) において得られた tail が同様に頂点作用素代数の指標で得られる可能性がある。更に、量子クラスター代数との対応では例外型リー代数 g(2) に関しても同様の研究を進めており、これら rank 2 の場合の対応からさらに高階の対応についての研究の指標となる。また、クラスター代数はFock-Goncharovによる曲面の局所系のモジュライ空間の関数環に対応していることから、モジュライの研究への応用も見込まれる。