Clifford-Klein forms and Dolbeault cohomology

2023 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 19K14529
• Research Category: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Review Section: Basic Section 11020:Geometry-related
• Research Institution: Kyushu University (2023); Kyoto University (2019-2022)
• Principal Investigator: Morita Yosuke 九州大学, 数理学研究院, 准教授 (70804318)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: 幾何学 / Lie群 / 等質空間 / 固有な作用 / Clifford-Klein形 / K理論・KO理論 / Conley指数 / condensed set

Outline of Final Research Achievements

1) In joint work with Fanny Kassel and Nicolas Tholozan, we prove that a (non-Riemannian) reductive homogeneous space can admit a compact quotient only when a certain sphere bundle on the homogeneous space is fibrewise homotopy equivalent to the trivial sphere bundle. Using the Adams operations on KO-theory, we obtained many examples of homogeneous spaces for which our necessary condition is not satisfied (and hence, compact quotients do not exist).
2) The Conley index is an invariant for isolated invariant subsets in topological dynamical systems. Usually, it is formulated using an index pair (N, L). I gave a new, simpler formulation of the Conley index, based on an observation that only the difference set N - L is important in Conlye index theory. I also observed that one can naturally define Conly indices in the point-set level if one uses condensed sets, a generalization of topological spaces.

Free Research Field

幾何学

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

1) 等質空間のコンパクト商の存在問題は、1980年代後半から多くの数学者によって様々な方法で研究されてきた。今回我々が与えた必要条件は、多くの場合で既存の結果を大幅に改良する強力なものである。また KO 理論・Adams 作用素といった代数トポロジーの重要概念と結びついている点でも興味深いと思う。
2) Conley 指数は力学系の研究において、純粋数学・応用の双方で広く用いられている道具である。また Floer 理論の定式化でも用いられている。今回与えた Conley 指数の定式化の改良が、こうした分野の研究に役立つことを期待している。