Study of homotopy theory which relates to combinatorics

2023 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 19K14536
• Research Category: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Review Section: Basic Section 11020:Geometry-related
• Research Institution: Shinshu University (2023); University of the Ryukyus (2019-2022)
• Principal Investigator: Matsushita Takahiro 信州大学, 学術研究院理学系, 准教授 (30812292)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: 近傍複体 / 独立複体 / 相対的幽霊写像 / 独立複体

Outline of Final Research Achievements

In this study, we study topological combinatorics in the context of applications of homotopy theory to the Hedetniemi conjecture, which had been an unsolved problem in graph theory, and of relative phantom maps, which are a generalization of phantom maps from the viewpoint of Z/2-indices. Although I had to change our research plan due to the negative resolution of the Hedetniemi conjecture by Shitov, I was able to obtain many results on topological combinatorics as a result. In particular, the generalization of the van Kampen-Flores theorem on triangulations of manifolds, determination of homotopy types of independence complexes of certain grid graphs, and research on dominance and neighborhood complexes of graphs have attracted international attention.

Free Research Field

位相幾何学

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

本研究は数学の一分野であるホモトピー論と位相的組合せ論に新たな視点をもたらし、特に多様体の三角形分割に対する van Kampen-Flores の定理の研究やグラフの独立複体や支配複体の研究などにより、グラフ理論の応用において顕著な進展を達成した。グラフの彩色問題への新しいアプローチは、数学の基本問題に対する理解を深める上で重要な役割を果たしている。彩色問題を含め、グラフ理論における多くの研究は、計算機科学やネットワーク設計など、他分野への応用可能性の大きい分野であり、純粋数学の範囲を超えた社会的影響を期待させる。このように、本研究は学術的にも社会的にも大きな意義を持っている。