Regularity Theory for Degenerate Quasilinear Wave Equations and its Applications

2022 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 19K14573
• Research Category: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Review Section: Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
• Research Institution: The University of Shiga Prefecture
• Principal Investigator: Sugiyama Yuusuke 滋賀県立大学, 地域ひと・モノ・未来情報研究センター, 准教授 (30712161)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: 解の爆発 / 解の正則性 / 波動方程式 / 圧縮性オイラー方程式 / 方程式の退化

Outline of Final Research Achievements

We prove a new theorem on finite-time blow-up of solutions of the spatial 1D quasilinear wave equation. In particular, we gave sufficient conditions for finite-time blow-up of solutions in the initial value problem of the quasilinear wave equation parameterized to connect the compressible Euler equation with mass conservation and the one-dimensional elastic system with the variational nonlinear wave equation with energy conservation. Moreover, solvability of the quasilinear wave equation degenerate at spatial infinity is also proved. It is proved that the decay of the coefficients of the first-order partial derivatives in space other than the main part is also related to the solvability.
I also prove new results on the existence of time global solutions and the blow-up for the one-dimensional compressible Euler equations with time and space dependent damping terms.

Free Research Field

偏微分方程式

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

本研究においては、圧縮性流体や液晶中のエントロピー波の挙動を記述する準線形波動方程式やその関連方程式の研究を行った。特に、基本的な問題である解の存在と解が有限時間で存在しなくなる現象（解の爆発）の新しい定理を証明した。解の存在については、無限遠方における退化性という、これまで研究例のなかった条件のもとで考察を行った。解の爆発の研究は、既存の研究においては、方程式の持つ対称性（より具体的には保存則）を使って証明を行うのが一般的であったが、この研究では、そういった構造のない方程式において、解の爆発が起こる条件を与えた。