2019 Fiscal Year Research-status Report
ランダム力学系におけるホモクリニック接触の幾何と統計
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19K14575
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| Research Institution | Tokai University |
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Principal Investigator |
中野 雄史 東海大学, 理学部, 講師 (50778313)
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2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | ランダム力学系 / ホモクリニック接触 / Markov作用素 / 漸近周期性 / 非正則集合 / 創発現象 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題は、ランダムなホモクリニック接触を持つ力学系を深く理解することを最終的な目標としているが、これに関連して事業初年度では、(1)ランダム力学系の周期的挙動、および(2)ホモクリニック接触を持つような力学系の研究を行った。
(1)については、中村文彦氏（北見工大）と共同で（ランダム力学系の転送作用素を含む）Markov作用素コサイクルの漸近周期性に関する2種類の定義を導入し、それらの差異が現れる例の構成とそれらの周期性が得られるためのスペクトル論的および幾何的な十分条件を得た。特に（決定論的）周期が異なる2つの写像をランダムに反復合成した力学系においては、相空間が2つ以上の既約空間に分解されるものの、非周期的な挙動を見せる例が豊富にあることがわかり、それゆえ前述の十分条件にはノイズ側である種の位相的な仮定が必要であることが判明した。この結果は投稿に向けて準備中である。他にもランダム力学系の転送作用素に関して、急冷型極限定理に関する結果を鄭容武氏・J. Wittsten氏との、準安定性に関する結果をS. Lloyd氏との、線形反応問題に関する結果をH. Crimmins氏との共同研究にて得た。
(2)については、ホモクリニック接触を持つ力学系を微小摂動すると、時間平均が存在しないような点の集合（非正則集合）がLebesgue測度正となる例を豊富に作れることが知られているが、相馬輝彦氏（東京都立大）および桐木紳氏（東海大）と共同でこの手法を拡張し、創発現象に関するBerger予想の部分的解決に成功した。この結果は現在投稿中である。また、関連してP. Berger氏、S. Bielber氏と研究交流を持つこととなり、日本およびフランスで情報交換を行った。さらに、A. Zelerowicz氏と先述の結果を熱力学形式の文脈に拡張することに成功し、現在これを投稿に向けて準備中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
ランダム力学系の漸近周期性に関する研究が進み、またホモクリニック接触を持つ力学系の複雑な統計に関する研究が進んだ。そのため、本研究は順調に進展していると言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
ホモクリニック接触を持つ決定論的力学系を微小摂動すると無限個の吸引周期点を構成できる（無限個の観測可能な時間平均を持つ）ことが知られており、結果として非双曲力学系特有の統計が現れる。これに関して、ランダムなホモクリニック接触を持つ力学系を微小摂動した場合でも類似の結果が得られるかを確認する予定である。さらに、Lebesgue測度正の非正則集合（時間平均の非存在）を、ランダムなホモクリニック接触を持つ力学系の微小摂動でも構成できるかを検討する予定である。
これらの、ランダム力学系における時間平均の非存在・非有限性は、Araujoの定理があるため一般のノイズについては成り立たないため、何らかの条件をノイズに課す必要がある。それがどのような形であるべきかを検討する上で、事業初年度の研究で得られたランダム力学系の周期性に関する知見、およびその拡張を手がかりにする予定である。
さらに、別の課題として持続的なランダムなホモクリニック接触の構成が残されているが、これに関しては（決定論の場合と同様）対応するランダムthicknessの導入とその摂動安定性の解析によって、これを構成できるかを確認する予定である。
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| Causes of Carryover |
県外の研究集会に出張することを計画していたが、新型コロナウイルス蔓延の状況が生じたため計画が立ち消えとなり、未使用額が生じた。新型コロナウイルスの影響が無くなることを前提としてであるが、次年度に研究打合せのため招聘する国内外の研究者を増やし、未使用額をその経費に充当することとしたい。
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Research Products
(16 results)
