2021 Fiscal Year Research-status Report
ランダム力学系におけるホモクリニック接触の幾何と統計
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19K14575
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| Research Institution | Tokai University |
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Principal Investigator |
中野 雄史 東海大学, 理学部, 講師 (50778313)
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2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | ホモクリニック接触 / Birkhoff非正則集合 / Markov作用素 / 収縮性 / Lyapunov非正則集合 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ホモクリニック接触を持つ力学系に対しては、時間平均が存在しない点の集合（Birkhoff非正則集合）がLebesgue測度正となる例が豊富に存在することが知られている。一方でV. Araujoは2000年に、「物理ノイズ下ではBirkhoff非正則集合がLebesgue測度零になる」ことを証明した。これはPalis予想への部分的貢献など可微分力学系理論に少なくない影響を与えたが、その後目立った進展はなかった。これに関連して次のような結果を得た。
(1) Araujoの結果における物理ノイズは2つの条件を満たすノイズと定義されるが、うち1つが実は不要であり、もう1つの仮定も「一様収縮性」と呼ばれるMarkov作用素論における既知の概念の十分条件になっていることを示した。「収縮性」というより弱い概念もあるが、我々はさらに「漸近収縮性」、「平均収縮性」の概念を導入し、後者がAraujoの結果における結論と同値になる事を示した。また、乗法ノイズなどを通じてこれらの階層の間には豊富な例が存在することを示した。（中村文彦氏、豊川永喜氏（北見工大）、P. Barrientos氏（フルミネンセ連邦大）との共同研究）
(2) 時間平均と並んで重要な統計量としてLyapunov指数があるが、これが存在しないような点の集合（Lyapunov非正則集合）がLebesgue測度正となる例を、ホモクリニック接触からの分岐によって豊富に作れることを示した。同時に、Birkhoff/Lyapunov非正則集合には直接的な関係はない（一方が存在し他方が存在しないような力学系が豊富に存在する）ことも示した。（桐木紳氏（東海大）、李曉龍氏（華中科技大）、相馬輝彦氏（東京都立大）との共同研究）
これらの結果および、関連するJ. Wittsten, 鄭容武, H. Crimmins各氏との共同研究結果を4編論文投稿した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
本年度は、ランダム力学系理論としても、ホモクリニック接触を持つ力学系の理論としても、重要な結果を得ることができた。一方で、これらの進展が予想外に大きかったために、当初の目的であった「ランダム力学系のホモクリニック接触」そのものに関する研究に十分な時間を取ることができなかった。そのため、本研究はやや遅れていると判断した。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度は、Markov作用素の観点からのAraujo定理の拡張と、ホモクリニック分岐によるLyapunov非正則集合の構成という予想外の方向からの研究進展があったため、当初予定していた方向からの研究調査に十分時間を割くことができなかった。そのため来年度は、今一度、当初の方針に戻って研究を行う予定である。具体的には次の通りとなる：
ホモクリニック接触を持つ決定論的力学系を微小摂動すると無限個の吸引周期点を構成できる（無限個の観測可能な時間平均を持つ）ことが知られており、結果として非双曲力学系特有の統計が現れる。これに関して、ランダムなホモクリニック接触を持つ力学系を微小摂動した場合でも類似の結果が得られるかを確認する予定である。また、関連して持続的なランダムなホモクリニック接触を構成できるかを、（決定論的力学系の場合と同様）対応するランダムthicknessの導入とその摂動安定性の解析によって、確認する予定である。
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| Causes of Carryover |
国外・県外の研究集会に出張することを計画していたが、 COVID-19の世界的蔓延のため計画が立ち消えとなり、未使用額が生じた。COVID-19の影響が無くなることを前提としてであるが、次年度に研究打合せのため招聘する国内外の研究者を増やし、未使用額をその経費に充当することとしたい。
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