2022 Fiscal Year Research-status Report
ランダム力学系におけるホモクリニック接触の幾何と統計
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19K14575
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| Research Institution | Tokai University |
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Principal Investigator |
中野 雄史 東海大学, 理学部, 准教授 (50778313)
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2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | ホモクリニック接触 / Birkhoff非正則集合 / Markov作用素 / Lyapunov非正則集合 / 準安定性 / ランダム力学系 / 逆正弦法則 / Darling-Kac法則 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ホモクリニック接触を持つ力学系に対しては、時間平均が存在しない点の集合（Birkhoff非正則集合）がLebesgue測度正となる例が豊富に存在することが知られている。一方でV. Araujoは2000年に、「物理ノイズ下ではBirkhoff非正則集合がLebesgue測度零になる」ことを証明した。これはPalis予想への部分的貢献など可微分力学系理論に少なくない影響を与えたが、その後目立った進展はなかった。これに関連して次のような結果を得た。
（１）Araujoの結果における物理ノイズは2つの条件を満たすノイズと定義されるが、うち1つが実は不要であり、もう1つの仮定も「一様収縮性」と呼ばれるMarkov作用素論における既知の概念の十分条件になっていることを示した。さらに「平均収縮性」の概念を導入し、後者がAraujoの結果における結論と同値になる事を示し、論文投稿した（中村文彦氏、豊川永喜氏（北見工大）、P. Barrientos氏（UFF）との共同研究）。
（２）Araujoは時間平均の存在と有限性までしか結論していないが、物理ノイズ下では中心極限定理なども成立することを上記の共同研究の中で示した。ここからあらわれる自然な疑問として、「中立不動点を持つ間欠性写像のような、重要だが中心極限定理が成り立たない力学系の物理ノイズによる摂動系は、零ノイズ極限でどのように振る舞うか」というものである。これを背景として、準安定性にまつわる問題について、中村氏、S. Lloyd氏（XJTLU）、S. Vaienti氏（CIRM）、W. Bahsoun氏（Loughborough）らと研究を進め、一部完成した部分を論文投稿準備中である。また、平均間欠性を持つランダム力学系のDarling-Kac法則、逆正弦法則に関する結果（中村氏、豊川氏、矢野孝次氏（大阪大）との共同研究）も論文投稿した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
本年度は、ホモクリニック接触を持つ力学系のランダム摂動に関して、重要な結果を得ることができた。一方で、これらの進展が予想外に大きかったために、当初の目的であった「ランダム力学系のホモクリニック接触」そのものに関する研究に十分な時間を取ることができなかった。そのため、本研究はやや遅れていると判断した。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度は、Markov作用素の観点からのAraujo定理の拡張、区分拡大写像のLyapunov非正則集合の構成、平均間欠性によるランダム力学系の逆正弦法則、ランダム区分拡大写像の準安定性といった予想外の方向からの研究進展があったため、当初予定していた方向からの研究調査に十分時間を割くことができなかった。そのため来年度は、今一度、当初の方針に戻って研究を行う予定である。具体的には次の通りとなる：
ホモクリニック接触を持つ決定論的力学系を微小摂動すると無限個の吸引周期点を構成できる（無限個の観測可能な時間平均を持つ）ことが知られており、結果として非双曲力学系特有の統計が現れる。これに関して、ランダムなホモクリニック接触を持つ力学系を微小摂動した場合でも類似の結果が得られるかを確認する予定である。また、関連して持続的なランダムなホモクリニック接触を構成できるかを、（決定論的力学系の場合と同様）対応するランダムthicknessの導入とその摂動安定性の解析によって、確認する予定である。
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| Causes of Carryover |
国外・県外の研究集会に出張することを計画していたが、 COVID-19の世界的蔓延のため計画が立ち消えとなり、未使用額が生じた。COVID-19の影響が無くなることを前提としてであるが、次年度に研究打合せのため招聘する国内外の研究者を増やし、未使用額をその経費に充当することとしたい。
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