Research on degenerations in infinite dimensional Teichmuller spaces

2019 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 19K21022
• Project/Area Number (Other): 18H05831 (2018)
• Research Category: Grant-in-Aid for Research Activity Start-up
• Allocation Type: Multi-year Fund (2019); Single-year Grants (2018)
• Review Section: 0201:Algebra, geometry, analysis, applied mathematics,and related fields
• Research Institution: Nagoya University
• Principal Investigator: Fujino Hiroki 名古屋大学, 高等研究院(多元), 特任助教 (90824037)
• Project Period (FY): 2018-08-24 – 2020-03-31
• Keywords: タイヒミュラー空間 / 擬等角写像 / 反ド・ジッター空間 / 極大曲面 / 極小曲面 / 鏡像の原理

Outline of Final Research Achievements

We showed that there exists a 1-to-1 correspondence between solutions of infinite boundary value problems for minimal graphs in 3D Euclidean space and solutions of lightlike line boundary value problems for maximal graphs in 3D Mikowski space. This correspondence is induced from the natural dual correspondence between minimal graphs and maximal graphs formulated by Calabi. Further, some transitions of symmetries appearing on such solutions and their conjugate surfaces were clarified.
We discovered some kind of reflection principle for lightlike boundary segment of maximal surfaces in 3D Minkowski space. This result partially solves an important problem in the field of surface theory. As well as the other reflection principles, this reflection principle enables us to construct complicated periodic maximal surfaces that have some kind of singularities.

Free Research Field

複素解析学

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

境界値問題の対応を示したことにより、一方の境界値問題について既に知られている事実を翻訳して他方の境界値問題に対する結果を得ることができる。例えば、「極小グラフに対する無限境界値問題」の研究の一つの到達点と言える、ジェンキンス・セリンらの結果（1966年）を翻訳して「極大グラフに対する光的線分境界値問題の可解性と一意性」の結果が得られる。
また「境界上の光的線分に関する鏡像原理」の発見は、曲面論における重要な未解明問題を部分的に解決するものである。さらに得られた鏡像原理はシュワルツの鏡像原理から従うものではないため、これまでに知られていた他の鏡像原理とは全く新しいタイプの対称性を導く。