Foundation of magnitude homology and applications

2022 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 19K21826
• Research Category: Grant-in-Aid for Challenging Research (Exploratory)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Review Section: Medium-sized Section 11:Algebra, geometry, and related fields
• Research Institution: Osaka University (2022); Hokkaido University (2019-2021)
• Principal Investigator: Yoshinaga Masahiko 大阪大学, 大学院理学研究科, 教授 (90467647)
• Project Period (FY): 2019-06-28 – 2023-03-31
• Keywords: マグニチュードホモロジー / 距離空間 / マグニチュード

Outline of Final Research Achievements

In this project, we find a new interpretation of the magnitude homology. Namely,
consider the space-time of the metric space and partial order defined by the causal relations. We define the magnitude homotopy type to be the order complex of an interval of the causal poset divided by a certain subcomplex. Then the reduced homology group of this space is isomorphic to the magnitude homology group of the original metric space.
In case the metric space is a graph, the magtnitude homotopy type is homotopy equivalent to the double suspension of the space introduced by Asao and Izumihara. Magnitude homotopy type also can be considered as the "paths space" for metric spaces. Applying discrete Morse theory to the magnitude homotopy type, we obtained several results including new proofs of Mayer-Vietoris type theorem, Kunneth type formula, and the invariance of the magnitude under sycamore twists.

Free Research Field

数学

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

本研究は、距離空間の時空の因果関係から定まる順序集合の順序複体、という新しい観点から「マグニチュードホモトピー型」を導入し、その空間に離散モース理論を適用することでマグニチュードホモロジーの基本的な性質を調べた。マグニチュードホモトピー型は、距離空間版の「経路空間」とみなすことができ、マグニチュードは「距離空間の経路空間上のオイラー標数積分」と解釈できる。
マグニチュードは距離空間の大まかなサイズを測る不変量で、ビッグデータを扱う際にも有用な概念であることが期待されている。本研究はマグニチュードを統制する幾何学的構造の研究であると位置づけられる。