2021 Fiscal Year Research-status Report
A generalization of the theory of motives of algebraic varieties
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19K23413
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| Research Institution | NTT Communication Science Laboratories |
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Principal Investigator |
宮崎 弘安 日本電信電話株式会社NTTコミュニケーション科学基礎研究所, 基礎数学研究P, 研究主任 (50799765)
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| Project Period (FY) |
2019-08-30 – 2023-03-31
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| Keywords | モジュラス付きモチーフ理論 / モチーフ / モジュラス / ホモトピー不変性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度もモジュラス付きモチーフ理論の研究を行なった。
前年度に出版したモジュラス付き層およびモジュラス付きコホモロジーに関する２編の論文の結果に基づき、モジュラス付きモチーフの圏の構成を行なった論文が、査読付き国際雑誌に受理された（Bruno Kahn氏、齋藤秀司氏、山崎隆雄氏との共同研究）。これにより、本研究の最大の目標である「代数多様体のモチーフの圏の一般化」を達成することができた。
ただし（モチーフ理論が当初そうであったように）上述の一般化は「底が完全体のスペクトラム」である場合の理論にとどまっている。現在ではモチーフ理論は底が任意の場合に拡張されているので、モジュラス付きモチーフ理論も同様の拡張が可能であると期待される。そこで今年度は、モジュラス付きモチーフの構成に必要となるモジュラスペアの圏とその上の位相、およびそれらが誘導するモジュラス付き層の理論を、底が任意の場合に拡張する研究を行い、プレプリントとして発表した（Shane Kelly氏との共同研究）。これは昨年度出版した２編の論文の結果（の一部）の拡張に対応する。この研究を基礎とすることでモジュラス付きモチーフの圏の構成も拡張可能であり、現在対応するプレプリントをまとめているところである。
上述のように本研究課題の最大目標はすでに達成されているが、底の一般化の他にも様々な理論の発展の方向性が見出されつつあるなど、研究は当初の想定を超えて進展しつつある。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
今年度は、モジュラス付きモチーフの圏の構成に関する論文が査読付き国際誌に掲載受理された。これは本研究の最大目標が達成されたことを意味する。また、baseが一般の場合のモジュラス付き層に関するShane Kelly氏との共同研究をプレプリントとしてまとめ、ArXivに掲載することができた。以上のように、研究は当初の計画以上に進展している。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究の最も重要な目標であるモジュラス付きモチーフの基礎理論の構築が達成されたため、今後は理論のさらなる発展と応用に注力する。底の任意化の他にも、本理論をさらに発展させるいくつかの方向性について国内外の複数の研究者と共同研究を進めている。これらは当初の想定を超えて展開したプロジェクトであるため、本研究課題が終了した後も研究を継続していく可能性が高い。そこで最終年度は、すでに完成した体上の理論について国内外の研究集会で発表すると同時に、現在のプロジェクトの進展状況を資料として取りまとめ、次の研究へ向けた下準備を行う期間としても活用したい。
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| Causes of Carryover |
前年度同様、新型コロナウィルス感染症の影響で研究集会や研究打ち合わせのための出張が行えなくなったことにより、次年度使用額が生じた。今年度は出張を開始できることを期待していたものの、感染症の状況はなかなか改善せず、対面の議論の機会を確保できなかったことは残念である。次年度は、出張が可能な状況であれば、積極的に研究費を活用する。引き続きオンラインでの議論が中心となる場合には、議論を円滑化するための機器等に助成金を活用する。
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