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2011 Fiscal Year Annual Research Report

拡散と領域の幾何

Research Project

Project/Area Number 20340031
Research InstitutionHiroshima University

Principal Investigator

坂口 茂  広島大学, 大学院・工学研究院, 教授 (50215620)

Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) 三上 敏夫  広島大学, 大学院・工学研究院, 教授 (70229657)
三沢 正史  熊本大学, 大学院・自然科学研究科, 教授 (40242672)
柴田 徹太郎  広島大学, 大学院・工学研究院, 教授 (90216010)
Keywords熱方程式 / 非線形拡散方程式 / 準線形楕円型方程式 / 不変な等位面 / 超平面の特徴付け / リュービル型定理 / 国際研究者交流 / イタリア
Research Abstract

主な研究目的は,拡散現象を記述する偏微分方程式の解の挙動と領域の幾何の関係を明らかにすることであった。主な研究成果は3つある。
(1)準線形楕円型方程式に付随する変分問題を同じ再配分をもつ関数のクラス上で考えて,解の存在,一意性を示し,さらに領域の対称性と解の対称性の関係を明らかにした。
(2)非線形拡散方程式の解の不変な等位面による超平面の特徴付けの定理をスライディング法を改良し,より広いクラスの領域に対して示した。
(3)熱方程式の解の不変な等温面による超平面の特徴付けの定理を有界集合上の振幅が有界である関数のグラフを境界に持つ領域に対して示した。これは,以前にリプシッツ連続関数のグラフを扱った結果の格段の改良である。さらに同様の仮定の下でワインガルテン曲面を記述する完全非線形楕円型方程式の粘性解に対するリュービル型定理を示し,以前の結果を格段に改良した。
(1)の結果を論文:F.Cuccu, G.Porru, and S.Sakaguchi, Nonlinear Analysis T.M.A.74(2011), 5554-5565として発表した。(2)と(3)の結果は論文:S.Sakaguchi「Stationary level surfaces and Liouville-type theorems characterizing hyperplanes」(投稿中)にまとめた。これは米国コーネル大学のarXivにプレプリントを公開中である。また,2011年6月のイタリア・コルトナおよび2011年7月のカナダ・バンフでの専門家を集めた国際研究集会やその他多くの日本国内での研究集会で積極的に成果発表を行った。最近の展開として,イタリアの研究者と共同で,滑らかではない汎関数に対する変分問題のエネルギー最小解が領域の境界に平行な等位面をもつとき,領域は球に限ることを示し,新たな領域の形状を決定する逆問題を提案・解決し,現在論文を準備中である。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

研究課題に対して相応の進展があり,特に不変な等位面や不変な等温面による超平面の特徴付けの研究では,ほとんど最良な結果が得られている。また,イタリアの研究者たちとの共同研究で特に非線形楕円型方程式に対して,解の挙動と領域の幾何の関係の研究に新たな進展があった。

Strategy for Future Research Activity

残りの1年間で,この研究をより広い偏微分方程式の解の挙動と領域の幾何の関係の研究へ発展させ,特に逆問題の視点をもっと取り入れようと考えている。

  • Research Products

    (14 results)

All 2012 2011

All Journal Article (3 results) (of which Peer Reviewed: 3 results) Presentation (11 results)

  • [Journal Article] Interaction between nonlinear diffusion and geometry of domain2012

    • Author(s)
      Rolando Magnanini, Shigeru Sakaguchi
    • Journal Title

      Journal Diifferential Equations

      Volume: 252 Pages: 236-257

    • DOI

      10.1016/j.jde.2011.08.017

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Matzoh ball soup revisited : the boundary regularity issue2012

    • Author(s)
      Rolando Magnanini, Shigeru Sakaguchi
    • Journal Title

      Mathematical Methods Applied Sciences

      Volume: (in press)

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Optimization problems on general classes of rearrangements2011

    • Author(s)
      Fabrizio Cuccu, Giovanni Porru, Shigeru Sakaguchi
    • Journal Title

      Nonlinear Analysis Theory, Methods Applications

      Volume: 74 Pages: 5554-5565

    • DOI

      10.1016/j.na.2011.05.039

    • Peer Reviewed
  • [Presentation] Stationary isothermic surfaces and geometry of domain2012

    • Author(s)
      Shigeru Sakaguchi
    • Organizer
      The 4th Nagoya Workshop on Differential Equations
    • Place of Presentation
      名古屋大学(名古屋市)(招待講演)
    • Year and Date
      2012-03-05
  • [Presentation] Nonlinear diffusion, geometry of domain, and Liouville-type theorems I, II2012

    • Author(s)
      Shigeru Sakaguchi
    • Organizer
      RIMS共同研究「非線形拡散の数理」
    • Place of Presentation
      京都大学数理解析研究所(京都市)(2連続講演)(招待講演)
    • Year and Date
      2012-02-14
  • [Presentation] Stationary isothermic surfaces and Liouville-type theorems characterizing hyperplanes2012

    • Author(s)
      Shigeru Sakaguchi
    • Organizer
      RIMS Workshop "Inverse problems of partial differential equations and related topics"
    • Place of Presentation
      京都大学数理解析研究所(京都市)(招待講演)
    • Year and Date
      2012-01-24
  • [Presentation] Liouville-type theorems characterizing hyperplanes2012

    • Author(s)
      Shigeru Sakaguchi
    • Organizer
      フィレンツェ大学数学教室解析セミナー
    • Place of Presentation
      イタリア・フィレンツェ(招待講演)
    • Year and Date
      2012-01-13
  • [Presentation] 超平面を特徴づけるLiouville型定理2011

    • Author(s)
      坂口茂
    • Organizer
      第9回浜松偏微分方程式研究集会
    • Place of Presentation
      静岡大学(浜松市)(招待講演)
    • Year and Date
      2011-12-26
  • [Presentation] Stationary isothermic surfaces and Liouville-type theorems characterizing hyperplanes2011

    • Author(s)
      Shigeru Sakaguchi
    • Organizer
      Workshop on Differential Geometry and Geometric Analysis
    • Place of Presentation
      東北大学(仙台市)(招待講演)
    • Year and Date
      2011-12-20
  • [Presentation] Stationary level surfaces under low regularity assumption on the domain2011

    • Author(s)
      坂口茂
    • Organizer
      日本数学会秋季総合分科会
    • Place of Presentation
      信州大学(松本市)
    • Year and Date
      2011-09-29
  • [Presentation] Stationary level surfaces under low regularity assumption on the domain2011

    • Author(s)
      Shigeru Sakaguchi
    • Organizer
      The Seventh "Topics in Nonlinear Problems"
    • Place of Presentation
      熊本大学(熊本市)(招待講演)
    • Year and Date
      2011-09-24
  • [Presentation] Stationary level surfaces and Liouville-type theorems2011

    • Author(s)
      Shigeru Sakaguchi
    • Organizer
      The 4th MSJ-SI, Nonlinear Dynamics in Partial Differential Equations
    • Place of Presentation
      九州大学(福岡市)(招待講演)
    • Year and Date
      2011-09-12
  • [Presentation] Diffusion with similar level sets2011

    • Author(s)
      Shigeru Sakaguchi
    • Organizer
      BIRS Workshop "Geometric properties of solutions of nonlinear PDEs and their applications"
    • Place of Presentation
      カナダ・バンフ(招待講演)
    • Year and Date
      2011-07-18
  • [Presentation] Level surfaces, Liouville-type theorems and the hyperplane2011

    • Author(s)
      Shigeru Sakaguchi
    • Organizer
      2nd Italian-Japanese workshop on geometric properties for parabolic and elliptic PDE's
    • Place of Presentation
      イタリア・コルトナ(招待講演)
    • Year and Date
      2011-06-22

URL: 

Published: 2013-06-26  

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