2010 Fiscal Year Self-evaluation Report
Regularization solutions to shape and topology optimization problems of domains for elliptic boundary value problems
| Project/Area Number |
20540113
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Section | 一般 |
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| Research Field |
General mathematics (including Probability theory/Statistical mathematics)
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
AZEGAMI Hideyuki Nagoya University, 大学院・情報科学研究科, 教授 (70175876)
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| Project Period (FY) |
2008 – 2012
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| Keywords | 応用数学 / 関数解析学 / 数理工学 / 設計工学 / 境界値問題 / 最適化 |
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| Research Abstract |
楕円型偏微分方程式の境界値問題が定義された領域の形状最適化問題は,その領域で定義された境界値問題の解で構成される汎関数を目的及び制約関数と定めて,制約条件の下で目的関数が最小となる領域の形状あるいは位相を見つける問題として構成される.これらの問題は,連続体や流れ場,音場などの現象を所望の現象に近づけるように場の形状や位相を決定する問題,あるいは計測データと理論解の誤差が最小となるように場の形状や位相を決定する逆問題を一般化した問題として捉えることができる.これらの問題は産業界の最適設計問題などへの応用が期待される.本研究では,この問題に対する正則性が保障された解法を示すことを目的とする
この目的に対して,以下の構想で取り組んでいる
(1)Hilbert空間上で構成された抽象的最適化問題に対して,評価関数が設計変数に対してFrechet微分評価可能として,Hilbert空間上の強圧的な双1次形式を用いた抽象的勾配法を定義する.抽象的勾配法の解の-意存在はLax-Milgramの定理によって示される
(2)楕円型境界値問題が定義された領域の形状あるいは位相最適化問題は,適切な滑らかさを備えた領域写像あるいは密度相当の関数の集合を許容集合として,それを含むHilbert空間上の関数最適化問題として構成される
(3)それら最適化問題の解法は,双1次形式を具体的に指定した抽象的勾配法で構成される.両最適化問題に対してHilbert空間は異なるが,共にH1級であることから,それらの抽象的勾配法をH1勾配法と呼ぶ
(4)楕円型境界値問題の既知関数や評価関数を適切に設定すれば,H1勾配法の解は許容集合に含まれることが示される
(5)形状と密度型位相最適化問題のFr6chet微分を評価するために使われる随伴境界値問題およびH1勾配法によって構成される楕円型境界値問題は,Galerkin近似を基礎にした有限要素法によって数値解が得られる
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